Get Even More Visitors To Your Blog, Upgrade To A Business Listing >>

Fermat, Pascal i els inicis de la probabilitat moderna

Des del percentatge que plogui o nevi un dia concret en una zona determinada fins a la idoneïtat d'apostar o no segons una mà de pòquer, passant per les quotes a favor o en contra de la victòria d'un cert equip i molts altres fenomens físics o econòmics. Gran part de les dades custodianes en molts àmbits estan basats en el càlcul de probabilitats.

Fermat, Pascal i els inicis de la probabilitat moderna

El 1933, Andrei Kolmogorov establia la que es coneix com concepció axiomàtica de probabilitat, donant rigor d'aquesta manera a molts dels estudis que s'havien realitzat amb anterioritat en aquesta branca i començant així l'estudi modern de la teoria de probabilitats. Però l'estudi de la probabilitat va començar molt abans, i es pot dir que els precursors d'aquesta teoria van ser Pierre de Fermat i Blaise Pascal.
Al segle XVII, la teoria de nombres fa els primers passos com a branca de les matemàtiques gràcies a Pierre de Fermat, i la geometria analítica fa la seva aparició en les matemàtiques recolzada en els estudis del propi Fermat i de René Descartes. Al marge de tot això, l'alta societat francesa s'entreté amb jocs d'atzar.

Fermat, Pascal i els inicis de la probabilitat moderna
Pierre de Fermat (VIQUIPÈDIA)
Un dels seus integrants, Antoine Gombaud, Cavaller de Méré, era un expert jugador (a part d'escriptor i pensador). Malgrat la seva saviesa pel que fa a jocs d'atzar, n'hi havia dos que li creaven dubtes, que no entenia completament. Per això, va decidir plantejar-los a Pascal.

El primer és el següent:
Se suposa que es llença un dau quatre vegades i es pensa en la probabilitat que surti almenys un 6 en alguna de les tirades (tant és en quina d'elles). La qüestió és la següent: convé apostar que sortirà almenys un 6?
Calculant la probabilitat que no surti cap 6 en cap de les tirades, i el resultat es restarà a 1, obtenint així la probabilitat que surti almenys un 6.
La probabilitat que no surti un 6 en un tiratge és 5/6 (cinc valors que no són 6 entre sis valors possibles), i com que es tirarà quatre vegades (i les tirades són independents), la probabilitat que no surti cap 6 en aquestes quatre tirades és:
(5/6) · (5/6) · (5/6) · (5/6) = (5/6) 4

Ara, la probabilitat que surti almenys un 6 sortirà de restar aquest resultat a 1:
P (Un mínim d'un 6) = 1- (5/6) 4 = 0'5177 ...

Com que surt un resultat més gran que 0'5, convé apostar que sortirà almenys un 6 en quatre tirades d'un dau.
Gombaud sabia que aquesta aposta era lleugerament favorable que la contrària (encara que segur que no va fer els càlculs com aquí) i, a partir d'aquí es va plantejar què passaria en tirar dos daus i esperar que en els dos surti 6 al menys una vegada. El seu raonament va ser una cosa semblant al següent:
"La probabilitat de treure 6 en ambdós donats (en un tiratge) és igual a multiplicar per 1/6 la probabilitat de treure un 6 amb un dau en un tiratge. Per tant, per igualar la situació al problema anterior caldria fer 4 · 6 = 24 tirades. Així aconseguim un problema en el qual la probabilitat de treure 6 en ambdós donats almenys una vegada és la mateixa que la de treure un 6 al menys un cop en el cas anterior, pel que interessa apostar a favor d'aquest fet".

Fermat, Pascal i els inicis de la probabilitat moderna
Blaise Pascal (FLICKR)
El cas és que el cavaller de Mére, tot i que aparentment l'aposta era favorable, veia que a la llarga perdia més vegades que no pas guanyava. És a dir, l'aposta no semblava tan favorable, però no sabia per què.

El segon problema és:
Donats dos jugadors A i B juguen amb una moneda, tirant i veient el que surt en ella. Si surt cara, A acumula un punt, i si surt creu l'acumula el jugador B. Tots dos han apostat 32 € i guanya el jugador que abans arribi a 5 punts, portant llavors tots els diners. Per circumstàncies que no vénen al cas, cal interrompre el joc abans que un dels jugadors guanyi. El marcador en aquest moment queda així: A porta 4 punts i B en porta 3. La qüestió és la següent: com s'han de repartir els diners?

Fermat, Pascal i els inicis de la probabilitat moderna

Aquest problema havia estat estudiat anteriorment per Luca Pacioli i per Tartaglia, però tots dos van donar respostes errònies. El cavaller de Mére l'hi va proposar a Pascal, que el va posar en coneixement de Fermat mitjançant correspondència. En aquesta correspondència entre aquests dos monstres de les matemàtiques es va resoldre aquest problema i, de passada, es va crear el germen de la teoria del càlcul de probabilitats.
Però anant al problema en sí, la primera idea, en certa manera raonable, seria repartir els diners totals, 64 €, en proporció segons els punts que porten cadascun d'ells en el moment en què el joc es talla. Com que en aquest moment A porta 4 punts i B en porta 3, caldria dividir 64 entre 7 i donar 4 parts a A i 3 parts a B...
... el problema és que aquest raonament no dóna un resultat just. Per exemple, suposant que només s'ha fet una tirada i ha sortit cara. Llavors A porta un punt ... i les circumstàncies obliguen a acabar aquí el joc. Segons el raonament anterior, A hauria de dur tots els diners, el que seria, sens dubte, injust.

Fermat, Pascal i els inicis de la probabilitat moderna

El repartiment més just (i, per tant, el correcte) ha d'anar en funció de la probabilitat que tindria cadascun de guanyar el joc si aquest no s'hagués interromput. Cal analitzar quines serien les probabilitats de cada un i s'utilitzaran després per repartir els diners correctament.
Com que el jugador A porta 4 punts i el B 3, guanya el primer que arribi a 5 punts. Si a la següent tirada hagués sortit una cara, el jugador A arribaria a 5 punts i, per tant, guanyaria. La probabilitat que ocorri això és la probabilitat que surti cara a un tiratge: 1/2.
Si hagués sortit creu, el jugador B sumaria 4 punts. Com que l'A també en porta 4, encara no ha guanyat ningú, de manera que cal tirar de nou. Si en aquesta segona tirada surt cara, guanya l'A, i això passa amb probabilitat.
(1/2) · (1/2) = 1/4 (el primer 1/2 per la creu i el segon per l'última cara)
I si a la segona tirada surt creu, guanya el jugador B. La probabilitat que això passi és també:
(1/2) · (1/2) = 1/4 (el primer 1/2 per la primera creu i el segon per l'última creu)
Analitzant aquests casos, es veu que la probabilitat que guanyi A és:
P (Guanya A) = 1/2 + 1/4 = 3/4
I la probabilitat que el guanyador sigui B és:
P (Guanya B) = '1/4
Llavors cal dividir els diners totals en quatre parts i donar-n'hi tres a A i una a B. Per tant, al jugador A li corresponen 48 € i al B n'hi han de donar 16 €.
Tornant ara al primer problema i raonant com en el cas d'una sola tirada de dau:
Es calcula la probabilitat que no surti el resultat (6,6) i després, com abans, es resta aquesta probabilitat a 1. Com que el resultat (6,6) pot donar-se només en 1 dels 36 casos possibles, es llença el dau 24 vegades. Llavors:
P (No surti (6,6)) = (35/36) 24
Ara cal restar aquest valor a 1 i s'obté la probabilitat que surti (6,6) almenys una vegada en 24 tirades:
P (Almenys surt (6,6) un cop en 24 tirades) = 1 - (35/36) 24 = 0'4914 ...
La qual cosa vol dir que, en ser menor que 0'5, que en cas d'apostar a aquest resultat és, a la llarga, perjudicial per al jugador.
Com ja s'ha comentat, Pascal i Fermat van comentar i van donar solució a aquests problemes en la correspondència que es va generar entre tots dos (Fermat, sobretot, era molt de comunicar-se amb altres matemàtics per correspondència) després que el cavaller de Mére li proposés a Pascal. En aquest enllaç hi ha traduccions a l'anglès de part d'aquesta correspondència. El responsable de formalitzar tots aquests arguments va ser Christiaan Huygens, que va tenir coneixement d'aquesta correspondència sobre l'any 1655. Al 1657 va publicar el tractat De Ratiociniis in Ludo aleae (Calculant en jocs d'atzar), escrit en el qual resolia els problemes sobre probabilitats que circulaven en aquella època. Aquest tractat es va convertir en el primer treball publicat sobre càlcul de probabilitats.

Fermat, Pascal i els inicis de la probabilitat moderna

Com s'ha pogut veure, el simple plantejament d'un problema pràctic per part d'Antoine Gombaud, cavaller de Mére, va acabar donant lloc a tota una teoria matemàtica amb multitud d'usos i aplicacions. I no és l'únic cas, recordar el cas dels ponts de Königsberg i la teoria de grafs. Per això, no s'ha de restar importància a cap dels problemes que puguin aparèixer, ja que mai se sap la importància que poden arribar a tenir o les aplicacions que se'ls pot trobar.

Font: Gaussianos


This post first appeared on Getting Smarter And Smarter..., please read the originial post: here

Share the post

Fermat, Pascal i els inicis de la probabilitat moderna

×

Subscribe to Getting Smarter And Smarter...

Get updates delivered right to your inbox!

Thank you for your subscription

×