Consideremos um sistema composto por um grande número de partículas idênticas e distinguíveis (garanto que não é complicado entender isso). Representamos uma partição determinada n1, n2, n3,... mediante ordenamento geométrico mostrado abaixo.
Cada linha representa um estado de energia particular Ei; o número de pontos indica o número ni de partículas em cada estado. No exemplo acima, n1=3, n2=0, n3=2, n4=1 etc. nossa primeira suposição é que todos os estados são igualmente acessíveis as partículas do sistema. Em consequência, todos os estados tem a mesma probabilidade de serem ocupados. Assim, a probabilidade de uma partição é proporcional ao número de maneiras diferentes em que as partículas podem se distribuir entre os estados para produzir a partição.
Vejamos então nosso exemplo da figura. Quantas maneiras diferentes de distribuição existem que dão essa partição?
Para começar o estado E1, podemos escolher a primeira partícula entre as N partículas distinguíveis (vamos supor inicialmente que elas são distinguíveis). Então temos N modos de escolher.
Para a segunda partícula temos N-1 partículas disponíveis para escolher; para a terceira situação temos N-2. Logo o número total de maneiras diferentes para escolher as três partículas do nível E1 é
Chamaremos de a, b e c as três partículas que foram escolhidas. A ordem de escolha dessas partículas não muda a partição. Logo as 3!=6 permutações que foram contadas como diferentes maneiras, na verdade não são e temos que dividir o número acima pelo fator 3! da seguinte forma:
Essa expressão pode ser estendida para todos os outros níveis. Para o nível E2temos agora N-n1 partículas. Assim o número de diferentes maneiras de preencher o nível E2 é
Referência
ALONSO, Marcelo; FINN, Edward J. Física um curso universitário. Vol 3. Ed. Edgar Blucher.
