Ini adalah ringkasan materi Sistem Persamaan Linier Dua Variabel atau sering disingkat dengan SPLDV pada Kelas 8 SMP.
Nah jika dalam suatu persoalan melibatkan lebih dari satu persamaan PLDV maka hal tersebut dalam matematika kita sebut dengan sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV).
Banyak persamaan yang dilibatkan juga tergantung konsteks persoalannya ya.
Disebut sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) jika terdapat minimal dua persamaan linier dua variabel.
Bentuk Umum / Rumus SPLDV
Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV) mempunyai bentuk umum :$ax+by=c$
$px+qy=r$
Nah pada akhirnya nanti kita akan memecahkan persoalannya dengan mencari penyelesaian untuk nilai dua variabelnya yaitu $x$ dan $y$.
Pembelajaran Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV) di kelas 8 diperkenalkan dengan tiga jenis metode penyelesaian, diantaranya adalah :
- Metode Eliminasi
- Metode Substitusi
- Metode Campuran
Namun agaknya di beberapa sekolah sesuai dengan Kurikulum Merdeka yang ada metode grafik tidak banyak diberikan.
Memang metode penyelesaian dari sebuah Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV) yang paling sederhana dan paling banyak dipakai adalah ketiga jenis metode yang ada di atas.
Jadi simak pembahasan kita sampai habis ya, jangan di skip bacanya.
Yuk, kita bahas satu persatu dari ketiga metode penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV).
1. Metode Eliminasi SPLDV
Dari kata eliminasi yang berarti menghilangkan, maka metode ini bermaksud menyedernakan atau mencari penyelesaian dari Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV) dengan tahapan penyelesaian menghilangkan salah satu variabelnya.Demikian seterusnya untuk mendapatkan penyelesaian untuk jenis variabel lainnya.
Contoh Soal Metode Eliminasi SPLDV
Penyelesaian dari Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)
$2x+5y=11$
$-x+2y=-1$
adalah...
Penyelesaian dari Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)
$2x+5y=11$
$-x+2y=-1$
adalah...
Jawab :
Penyelesaian menggunakan metode eliminasi langkah pertama kita akan samakan koefisien dari variabel $x$ untuk mengeliminasi variabel $x$ nya itu sendiri.
Sehingga akan kita peroleh,
$ \begin{array}{cc} 2x+5y=11 & | \times 1 \\ -x+2y=-1 & | \times 2 \\ \end{array} $
Maka kedua persamaan sekarang akan menjadi,
Eliminasi(1) :
$ \begin{array}{cc} 2x+5y=11 & \\ -2x+4y=-2 & (+) \\ \hline 9y=9 \\ y=1 \end{array} $
Langkah berikutnya kita akan mengeliminasi variabel $y$ dari kedua persamaan tersebut, tapi jangan lupa kita samakan dulu nilai koefisien variabel $y$ nya ya.
$ \begin{array}{cc} 2x+5y=11 & | \times 2 \\ -x+2y=-1 & | \times 5 \\ \end{array} $
Sehingga akan menjadi,
Eliminasi(2) :
$ \begin{array}{cc} 4x+10y=22 & \\ -5x+10y=-5 & (-) \\ \hline 9x=27 \\ x=3 \end{array} $
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) di atas adalah $x=3$ dan $y=1$.
Penyelesaian menggunakan metode eliminasi langkah pertama kita akan samakan koefisien dari variabel $x$ untuk mengeliminasi variabel $x$ nya itu sendiri.
Sehingga akan kita peroleh,
$ \begin{array}{cc} 2x+5y=11 & | \times 1 \\ -x+2y=-1 & | \times 2 \\ \end{array} $
Maka kedua persamaan sekarang akan menjadi,
Eliminasi(1) :
$ \begin{array}{cc} 2x+5y=11 & \\ -2x+4y=-2 & (+) \\ \hline 9y=9 \\ y=1 \end{array} $
Langkah berikutnya kita akan mengeliminasi variabel $y$ dari kedua persamaan tersebut, tapi jangan lupa kita samakan dulu nilai koefisien variabel $y$ nya ya.
$ \begin{array}{cc} 2x+5y=11 & | \times 2 \\ -x+2y=-1 & | \times 5 \\ \end{array} $
Sehingga akan menjadi,
Eliminasi(2) :
$ \begin{array}{cc} 4x+10y=22 & \\ -5x+10y=-5 & (-) \\ \hline 9x=27 \\ x=3 \end{array} $
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) di atas adalah $x=3$ dan $y=1$.
2. Metode Substitusi SPLDV
Substitusi artinya mengganti, dalam menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) menggunakan metode substitusi ini kita akan mengganti salah satu variabel dengan nilai konversi variabel tersbeut dalam persamaan satu dengan yang lainnya.Dalam beberapa kasus soal, metode substitusi ini akan jauh lebih sederhana daripada metode eliminasi sebagaimana yang sudah kita uraikan di atas.
Namun kembali lagi kepada kalian, metode eliminasi dan metode substitusi tetaplah sebuah pilihan.
Jadi kalian bisa pilih dari kedua metode ini mana yang lebih mudah dan sederhana pemakaiannya dalam soal.
Contoh Soal Metode Substitusi SPLDV
Penyelesaian dari Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)
$x+4y=13$
$2x+7y=24$
adalah...
Penyelesaian dari Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)
$x+4y=13$
$2x+7y=24$
adalah...
Jawab :
Dengan metode substitusi kita bisa mensubstitusikan nilai $x$ pada persamaan pertama ke persamaan kedua.
Dari persamaan pertama $x+4y=13$ kita bisa ubah menjadi bentuk $x=13-4y$, kemudian lanjut substitusikan ke persamaan yang kedua.
$x+4y=13$ maka $x=13-4y$.
Substitusikan ke persamaan kedua :
$ \begin{align} 2x+7y &= 24 \\ 2(13-4y)+7y &= 24 \\ 26-8y+7y &= 24 \\ -y &= 24-26 \\ -y &= -2 \\ y &= 2 \end{align} $
Setelah mendapatkan bahwa $y=2$ lanjutkan dengan mensubstitusikan kembali ke persamaan pertama tadi nilai $y$ nya dengan tujuan untuk mendapatkan nilai $x$ nya.
Substitusi ke persamaan pertama $y=2$ :
$ \begin{align} x &= 13-4y \\ x &= 13-4(2) \\ x &= 13-8 \\ x &= 5 \end{align} $
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) di atas adalah $x=5$ dan $y=2$.
Dengan metode substitusi kita bisa mensubstitusikan nilai $x$ pada persamaan pertama ke persamaan kedua.
Dari persamaan pertama $x+4y=13$ kita bisa ubah menjadi bentuk $x=13-4y$, kemudian lanjut substitusikan ke persamaan yang kedua.
$x+4y=13$ maka $x=13-4y$.
Substitusikan ke persamaan kedua :
$ \begin{align} 2x+7y &= 24 \\ 2(13-4y)+7y &= 24 \\ 26-8y+7y &= 24 \\ -y &= 24-26 \\ -y &= -2 \\ y &= 2 \end{align} $
Setelah mendapatkan bahwa $y=2$ lanjutkan dengan mensubstitusikan kembali ke persamaan pertama tadi nilai $y$ nya dengan tujuan untuk mendapatkan nilai $x$ nya.
Substitusi ke persamaan pertama $y=2$ :
$ \begin{align} x &= 13-4y \\ x &= 13-4(2) \\ x &= 13-8 \\ x &= 5 \end{align} $
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) di atas adalah $x=5$ dan $y=2$.
3. Metode Campuran SPLDV
Penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) menggunakan metode campuran maksudnya adalah metode gabungan dari metode eliminasi dan metode substitusi.Kalian bisa gabungkan langkahnya baik Substitusi-Eliminasi atau Eliminasi-Substitusi.
Dalam menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) metode campuran ini sering menjadi metode favorit dikarenkan fleksibilitas langkah penyelesaiannya yang relatif cepat dan sederhana.
Contoh Soal Metode Campuran SPLDV
Penyelesaian dari Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)
$3x+y=7$
$2x+5y=9$
adalah...
Penyelesaian dari Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)
$3x+y=7$
$2x+5y=9$
adalah...
Jawab :
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) di atas kita akan memakai metode campuran (Eliminasi-Substitusi).
Langkah pertama kita eliminasi kedua persamaan untuk menghilangkan $x$ nya.
$ \begin{array}{cc} 3x+y=7 & | \times 2 \\ 2x+5y=9 & | \times 3 \\ \end{array} $
Sehingga akan menjadi,
Eliminasi :
$ \begin{array}{cc} 6x+2y=14 & \\ 6x+15y=27 & (-) \\ \hline -13y=-13 \\ y=1 \end{array} $
Kita lanjutkan dengan langkah kedua dengan mensubstitusikan hasil $y=1$ ke salah satu persamaan yang ada.
Substitusikan $y=1$ ke persamaan pertama.
Substitusi :
$ \begin{align} 3x+y &= 7 \\ 3x+1 &= 7 \\ 3x &= 7-1 \\ 3x &= 6 \\ x &= 2 \end{align} $
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) di atas adalah $x=2$ dan $y=1$.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) di atas kita akan memakai metode campuran (Eliminasi-Substitusi).
Langkah pertama kita eliminasi kedua persamaan untuk menghilangkan $x$ nya.
$ \begin{array}{cc} 3x+y=7 & | \times 2 \\ 2x+5y=9 & | \times 3 \\ \end{array} $
Sehingga akan menjadi,
Eliminasi :
$ \begin{array}{cc} 6x+2y=14 & \\ 6x+15y=27 & (-) \\ \hline -13y=-13 \\ y=1 \end{array} $
Kita lanjutkan dengan langkah kedua dengan mensubstitusikan hasil $y=1$ ke salah satu persamaan yang ada.
Substitusikan $y=1$ ke persamaan pertama.
Substitusi :
$ \begin{align} 3x+y &= 7 \\ 3x+1 &= 7 \\ 3x &= 7-1 \\ 3x &= 6 \\ x &= 2 \end{align} $
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) di atas adalah $x=2$ dan $y=1$.
Contoh Soal Cerita SPLDV
Dalam beberapa kasus soal sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) sering disajikan dalam bentuk soal cerita.Hal yang paling disini adalah kalian harus dengan cermat memahami isi dari konteks ceritanya kemudian menerjemahkannya kedalam Model Matematika nya.
Contoh 1. Soal Cerita SPLDV
Ibu membeli di Toko Makmur $2$ kg tepung terigu dan $5$ kg gula dengan total harga pembelian $Rp. \ 95.000,00$. Dua hari kemudian bibi membeli di toko yang sama $1$ kg tepung terigu dan $2$ kg gula dan membayarkan uang sejumlah $Rp. \ 40.000,00$. Jika adik disuruh ibu untuk membeli $1$ kg tepung terigu dan $1$ kg gula di Toko Makmur maka jumlah uang yang harus dibayarkan adalah...
Ibu membeli di Toko Makmur $2$ kg tepung terigu dan $5$ kg gula dengan total harga pembelian $Rp. \ 95.000,00$. Dua hari kemudian bibi membeli di toko yang sama $1$ kg tepung terigu dan $2$ kg gula dan membayarkan uang sejumlah $Rp. \ 40.000,00$. Jika adik disuruh ibu untuk membeli $1$ kg tepung terigu dan $1$ kg gula di Toko Makmur maka jumlah uang yang harus dibayarkan adalah...
Jawab :
Untuk menyelesaikan soal cerita sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) di atas kita akan memakai Metode Substitusi.
Sebenarnya bebas ya kalian mau pilih pakai metode yang mana diantara metode eliminasi, metode substitusi atau metode campuran.
Namun sebelumnya kita akan buat model matematikanya terlebih dahulu.
Kita bisa buat permisalan kedalam bentuk dua variabel, misalkan saja :
$x \to$ tepung terigu
$y \to$ gula
Yuk, kita terjemahkan satu - satu model matematikanya dari soal cerita yang ada.
Ibu membeli di Toko Makmur $2$ kg tepung terigu dan $5$ kg gula dengan total harga pembelian $Rp. \ 95.000,00$.
Artinya : $2x+5y=95.000$
Dua hari kemudian bibi membeli di toko yang sama $1$ kg tepung terigu dan $2$ kg gula dan membayarkan uang sejumlah $Rp. \ 40.000,00$.
Artinya : $x+2y=40.000$
Kita akan lanjutkan dengan masuk ke langkah - langkah penyelesaian menggunakan metode substitusi.
$x+2y=40.000$ maka $x=40.000-2y$
Substitusi(1) :
$ \begin{align} 2x+5y &= 95.000 \\ 2(40.000-2y)+5y &= 95.000 \\ 80.000-4y+5y &= 95.000 \\ -4y+5y &= 95.000-80.000 \\ y &= 15.000 \end{align} $
Berikutnya kita substitusikan $y=15.000$ ke salah satu persamaan yang ada.
Substitusi(2) :
$ \begin{align} 2x+5y &= 95.000 \\ 2x+5(15.000) &= 95.000 \\ 2x+75.000 &= 95.000 \\ 2x &= 95.000-75.000 \\ 2x &= 20.000 \\ x &= 10.000 \end{align} $
Dari sini dapat kita simpulkan bahwa harga $1$ kg tepung terigu($x$) adalah $Rp. \ 10.000,00$ sedangkan harga untuk $1$ kg gula($y$) adalah $Rp. \ 15.000,00$.
Dengan demikian jika adik disuruh ibu untuk membeli $1$ kg tepung terigu dan $1$ kg gula di Toko Makmur maka jumlah uang yang harus adik bayarkan adalah :
$=Rp. \ 10.000,00+Rp. \ 15.000,00$
$=Rp. \ 25.000,00$.
Untuk menyelesaikan soal cerita sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) di atas kita akan memakai Metode Substitusi.
Sebenarnya bebas ya kalian mau pilih pakai metode yang mana diantara metode eliminasi, metode substitusi atau metode campuran.
Namun sebelumnya kita akan buat model matematikanya terlebih dahulu.
Kita bisa buat permisalan kedalam bentuk dua variabel, misalkan saja :
$x \to$ tepung terigu
$y \to$ gula
Yuk, kita terjemahkan satu - satu model matematikanya dari soal cerita yang ada.
Ibu membeli di Toko Makmur $2$ kg tepung terigu dan $5$ kg gula dengan total harga pembelian $Rp. \ 95.000,00$.
Artinya : $2x+5y=95.000$
Dua hari kemudian bibi membeli di toko yang sama $1$ kg tepung terigu dan $2$ kg gula dan membayarkan uang sejumlah $Rp. \ 40.000,00$.
Artinya : $x+2y=40.000$
Kita akan lanjutkan dengan masuk ke langkah - langkah penyelesaian menggunakan metode substitusi.
$x+2y=40.000$ maka $x=40.000-2y$
Substitusi(1) :
$ \begin{align} 2x+5y &= 95.000 \\ 2(40.000-2y)+5y &= 95.000 \\ 80.000-4y+5y &= 95.000 \\ -4y+5y &= 95.000-80.000 \\ y &= 15.000 \end{align} $
Berikutnya kita substitusikan $y=15.000$ ke salah satu persamaan yang ada.
Substitusi(2) :
$ \begin{align} 2x+5y &= 95.000 \\ 2x+5(15.000) &= 95.000 \\ 2x+75.000 &= 95.000 \\ 2x &= 95.000-75.000 \\ 2x &= 20.000 \\ x &= 10.000 \end{align} $
Dari sini dapat kita simpulkan bahwa harga $1$ kg tepung terigu($x$) adalah $Rp. \ 10.000,00$ sedangkan harga untuk $1$ kg gula($y$) adalah $Rp. \ 15.000,00$.
Dengan demikian jika adik disuruh ibu untuk membeli $1$ kg tepung terigu dan $1$ kg gula di Toko Makmur maka jumlah uang yang harus adik bayarkan adalah :
$=Rp. \ 10.000,00+Rp. \ 15.000,00$
$=Rp. \ 25.000,00$.
Contoh 2. Soal Cerita SPLDV
Perbedaan usia ayah dan kakak saat ini adalah 35 tahun. Jika lima tahun yang lalu usia ayah adalah 8 kali usia kakak maka jumlah usia kakak dan ayah saat 8 tahun yang akan datang adalah …
Perbedaan usia ayah dan kakak saat ini adalah 35 tahun. Jika lima tahun yang lalu usia ayah adalah 8 kali usia kakak maka jumlah usia kakak dan ayah saat 8 tahun yang akan datang adalah …
Jawab :
Kita akan buat model matematikanya satu - persatu.
Misalkan:
$A \to$ Ayah
$K \to$ Kakak
Perbedaan usia ayah dan kakak saat ini adalah 35 tahun. Artinya : $A-K=35$
$A-K=35$ maka $A=35+K$ Jika lima tahun yang lalu usia ayah adalah 8 kali usia kakak... Artinya : $A-5=8(K-5)$
$ \begin{align} A-5 &= 8(K-5) \\ A-8K &= -40+5 \\ A-8K &= -35 \end{align} $ Substitusi(1) :
$ \begin{align} A-8K &= -35 \\ (35+K)-8K &= -35 \\ -7K &= -35-35 \\ -7K &= -70 \\ K &= 10 \end{align} $ Langkah berikutnya kita substitusikan $K=10$ ke persamaan pertama.
Substitusi(2) :
$ \begin{align} A-K &= 35 \\ A-10 &= 35 \\ A &= 35+10 \\ A &= 45 \end{align} $
Dengan demikian usia Ayah(A) saat ini adlaah $45$ tahun dan usia Kakak(K) saat ini adalah $10$ tahun. Jadi, jumlah usia kakak dan ayah saat 8 tahun yang akan datang adalah :
$ \begin{align} &(K+8)+(A+8) \\ &= (10+8)+(45+8) \\ &= 18+53 \\ &= 71 \ \text{tahun} \\ \end{align} $
Kita akan buat model matematikanya satu - persatu.
Misalkan:
$A \to$ Ayah
$K \to$ Kakak
Perbedaan usia ayah dan kakak saat ini adalah 35 tahun. Artinya : $A-K=35$
$A-K=35$ maka $A=35+K$ Jika lima tahun yang lalu usia ayah adalah 8 kali usia kakak... Artinya : $A-5=8(K-5)$
$ \begin{align} A-5 &= 8(K-5) \\ A-8K &= -40+5 \\ A-8K &= -35 \end{align} $ Substitusi(1) :
$ \begin{align} A-8K &= -35 \\ (35+K)-8K &= -35 \\ -7K &= -35-35 \\ -7K &= -70 \\ K &= 10 \end{align} $ Langkah berikutnya kita substitusikan $K=10$ ke persamaan pertama.
Substitusi(2) :
$ \begin{align} A-K &= 35 \\ A-10 &= 35 \\ A &= 35+10 \\ A &= 45 \end{align} $
Dengan demikian usia Ayah(A) saat ini adlaah $45$ tahun dan usia Kakak(K) saat ini adalah $10$ tahun. Jadi, jumlah usia kakak dan ayah saat 8 tahun yang akan datang adalah :
$ \begin{align} &(K+8)+(A+8) \\ &= (10+8)+(45+8) \\ &= 18+53 \\ &= 71 \ \text{tahun} \\ \end{align} $
Penutup
Nah adik - adik itu lah pembahasan kita kali ini mengenai ringkasan materi sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV).Semoga bisa membantu pemahaman kalian dalam mempelajari sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) ya.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
“Belajar tanpa berpikir adalah pekerjaan yang sia-sia, berpikir tanpa belajar itu berbahaya.” – Konfusius
