Jadi, banyak digit dari $8^{28} \ \text{x} \ 5^{80}$ adalah 82 digit.

$ \begin{align} 3^{N} &= \dfrac{1}{3} \ \text{x} \ 9^{120} \\ 3^{N} &= \dfrac{1}{3} \ \text{x} \ \left( 3^{2} \right)^{120} \\ 3^{N} &= \dfrac{1}{3} \ \text{x} \ 3^{240} \\ 3^{N} &= 3^{239} \to N=329 \\ \end{align} $

Jadi nilai $N$ yang tepat adalah 329.

Untuk menjawab soal di atas ada satu sifat tentang $KPK$ dan $FPB$ yang wajib kamu ingat, yaitu :
$a \ \text{x} \ b = FPB(a,b) \ \text{x} \ KPK(a,b)$

$ \begin{align} a \ \text{x} \ b &= FPB(a,b) \ \text{x} \ KPK(a,b) \\ &= 16 \ \text{x} \ 120 \\ &= 1920 \end{align} $

Jadi, $\left( a \ \text{x} \ b \right)^{3} = (1920)^{3}$.

Misal :
$A \to$ berat Ariel.
$B \to$ berat Bintang.
$C \to$ berat Corrin.

Dari soal di atas kita akan dapatkan,

$ \begin{array}{cc} A+B = 80 & \\ A+C = 70 & \\ B+C = 84 & (+) \\ \hline 2A+2B+2C = 234 \\ \therefore A+B+C=117 \end{array} $

Jadi, jumlah berat Ariel, Bintang dan Corrin adalah $117$ kg.

Beberapa kemungkinan yang bisa terjadi dari "memiliki lima hari minggu" adalah :
tanggal $1,8,15,22,$ dan $29$
tanggal $2,9,16,23,$ dan $30$
tanggal $3,10,17,24,$ dan $31$

Karena "tiga diantaranya jatuh pada tanggal berangka genap", maka kejadian yang dimaksud adalah tanggal $2,9,16,23,$ dan $30$.

Jadi, jika tanggal $9$ adalah hari Minggu maka hari kesepuluhnya akan jatuh pada hari Senin.

Untuk menjawab soal ini kita akan memakai konsep dari kombinasi.

Karena proses jabat tangan terjadi dua orang - dua orang, maka bisa kita dapatkan kombinasi yang terjadi adalah $C(50,2)$.

Sehingga akan kita dapatkan,
$ \begin{align} C(50,2) &= \dfrac{50!}{(50-2)!2!} \\ &= \dfrac{50!}{(48)!2!} \\ &= \dfrac{49 \ \text{x} \ 50}{2} \\ &= 49 \ \text{x} \ 25 \\ &= 1.225 \end{align} $

Jadi, banyak jabat tangan yang akan terjadi pada para tamu undangan adalah $1.225$ jabat tangan.

Ketiga bilangan merupakan tiga buah bilangan genap berurutan maka ketiga bilangan tersebut akan memenuhi konsep dari barisan aritmatika.

Sehingga dengan memakai konsep dari suku tengah pada barisan matematika kita akan mendapatkan bahwa suku tengah (bilangan kedua) dari ketiganya adalah
$\dfrac{96}{3}=32$

Jika bilangan genap yang kedua adalah bilangan $32$ maka ketiga bilangan genap tersbeut adalah:
$30,32,34$.

Selisih bilangan terkecil dan terbesar adalah :
$34-30=4$.

Jadi, selisih bilangan terkecil dan terbesar dari tiga buah bilangan tersebut adalah $4$.

Misalkan saja bilangan puluhan tersebut adalah $ab$ maka kita akan peroleh

$ \begin{align} ab &= 6(a+b) \\ 10a+b &= 6a+6b \\ 4a &= 5b \\ \dfrac{a}{b} &= \dfrac{5}{4} \end{align} $

Dari perhitungan tersebut bisa kita simpulkan bahwa $a=5$ dan $b=4$.

$ab=54$

Jadi, bilangan yang dimaksud adalah $54$.

$ \begin{align} a+b &= 2 \\ (a+b)^{2} &= 4 \\ a^{2}+b^{2}+2ab &= 4 \\ 6+2ab &= 4 \\ ab &= -1 \end{align} $

Dengan menggunakan penyederhanaan pada persamaan aljabar maka kita akan mendapatkan bahwa,
$ \begin{align} a^{3}+b^{3} &= (a+b)^{3}-3ab(a+b) \\ &= 2^{3}-3(-1)(2) \\ &= 8+6 \\ &= 14 \end{align} $

Jadi, bilangan yang dimaksud adalah $a^{3}+b^{3}=14$.

Banyak kejadian yang mungkin terjadi jika suatu pasangan suami istri menginginkan $3$ orang anak ada $2^{3}=8$ kejadian, diantaranya :
$(LLL)$, $(LLP)$, $(LPL)$, $(PLL)$, $(LPP)$, $(PLP)$, $(PPL)$ dan $(PPP)$.

Sehingga kejadian dengan syarat $2$ laki - laki dan $1$ perempuan ada $3$ kejadian, yaitu :
$(LLP)$, $(LPL)$ dan $(PLL)$.

Peluang mendapatkan $2$ laki - laki dan $1$ perempuan,
$=\dfrac{3}{8}$.

Jadi, peluang $2$ laki - laki dan $1$ perempuan adalah $\dfrac{3}{8}$.

Ciri dari suatu bilangan yang habis dibagi $3$ adalah jumlah semua angka digitnya juga habis dibagi $3$ berapapun banyak angka digitnya.

(1) $1534$ $\to$ $1+5+3+4=13$ 

$ \begin{align} & 10^{2}-9^{2}+8^{2}-7^{2}+ \dots +2^{2}-1^{2} \\ &=(10+9)(10-9)+(8+7)(8-7)+ \dots +(2+1)(2-1) \\ &=(10+9)1+(8+7)1+ \dots +(2+1)1 \\ &=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 \\ &=55 \end{align} $

Jadi, $10^{2}-9^{2}+8^{2}-7^{2}+ \dots +2^{2}-1^{2}$ $=55$.

$ \begin{align} &=\dfrac{333+1}{2} \\ &=167 \end{align} $

Karena dua halaman yang nampak adalah dua buah halaman yang berurutan maka kedua halaman yang dimaksud adalah $167$ dan $166$.

Karena nama hari akan terus mengulang setiap $7$ hari (dalam $1$ minggu) maka,
$\dfrac{2024}{7}$ $=289$ sisa $1$ hari.

Kita bisa menghitung hari yang akan datang dari soal ini dengan memakai angka dari sisanya $1$ hari.

Sehingga jika hari ini adalah hari Kamis, maka $2024$ yang akan datang adalah hari "Kamis + (1) hari" yaitu hari Jum'at.

Jadi, jawaban yang TEPAT adalah hari Jumat.

Misal enam orang siswa di atas adalah $A,B,C,D,E,F$ maka kita akan dapatkan bahwa,
$ \begin{align} 6,8 &=\dfrac{A+B+C+D+E+F}{6} \\ 40,8 &= A+B+C+D+E+F \end{align} $

Selanjutnya kita akan mencari nilai Budi dari rata - rata barunya,
$ \begin{align} 7 &=\dfrac{A+B+C+D+E+F+ \text{Budi}}{7} \\ 49 &= 40,8 + \text{Budi} \\ \text{Budi} &= 49-40,8 \\ \text{Budi} &= 8,2 \end{align} $

Jadi, nilai $\text{Budi}$ adalah $8,2$.

Ingat kembali bahwa sesuai dengan konsep aljabar selisih dua kuadrat kita akan peroleh bahwa,
$ a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b) $

Sehingga,
$ \begin{align} & \dfrac{100001^{2}-99999^{2}}{1001^{2}-999^{2}} \\ &= \dfrac{(100001+99999)(100001-99999)}{(1001+999)(1001-999)} \\ &= \dfrac{(200000)(2)}{(2000)(2)} \\ &= 100 \end{align} $

Jadi, nilai $\dfrac{100001^{2}-99999^{2}}{1001^{2}-999^{2}}=100$.

Misal :
$x$ $\to$ banyak hari tidak hujan
$y$ $\to$ banyak hari hujan

Dari soal kita akan peroleh persamaan,
$ \begin{align} 25x+20y &= 480 \\ x+y &= 20 \text{ | x20} \end{align} $

Kita eliminasi kedua persamaan di atas kita akan peroleh,
$ \begin{array}{cc} 25x+20y = 480 & \\ 20x+20y=400 & (-) \\ \hline 5x=80 \ \to \ x=16 \end{array} $

$ \begin{align} x+y &= 20 \\ 16+y &= 20 \\ y &= 4 \end{align} $

Jadi, banyak hari hujan yang mereka lalui adalah $4$ hari.

$ \begin{align} 2^{-a} &= \dfrac{1}{32} \\ \dfrac{1}{2^{a}} &= \dfrac{1}{32} \\ \dfrac{1}{2^{a}} &= \dfrac{1}{2^{5}} \\ 2^{a} &= 2^{5} \ \to \ a=5 \end{align} $

Jadi, $2a=10$.

Dari soal kita dapatkan beberapa informasi dasar, yaitu :
$V_{1}=100 \ cm^{3}$

$ \begin{align} p_{2} &=(100+25) \% \\ &= \dfrac{100+25}{100} \\ &=\dfrac{125}{100} \ p_{1} \end{align} $

$ \begin{align} l_{2} &=(100-20) \% \\ &=\dfrac{100-20}{100} \\ &=\dfrac{80}{100} \ l_{1} \end{align} $

$t_{2}=2t_{1}$

$ \begin{align} V_{2} &= p_{2}l_{2}t_{2} \\ &= \dfrac{125}{100} \ p_{1} \ \dfrac{80}{100} \ l_{1} \ 2t_{1} \\ &= \dfrac{5}{4} \ \dfrac{4}{5} \ 2 \ \left( p_{1}l_{1}t_{1} \right) \\ &= 2 \ V_{1} \\ &= 2(100) \\ &= 200 \end{align} $

Jadi, volume balok setelah adanya perubahan yang terjadi adalah $200 \ cm^{3}$.

$ \begin{align} L &= \dfrac{1}{2}at \\ 36 &= \dfrac{1}{2}(3x)(6x) \\ 36 &= 9x^{2} \\ x^{2} &= 4 \\ x &= 2 \end{align} $

Sehingga,
alas $a=3(2)=6$
tinggi $t=6(2)=12$

Sisi miring,
$ \begin{align} &= \sqrt{6^{2}+12^{2}} \\ &= \sqrt{36+144} \\ &= \sqrt{180} \\ &= 6\sqrt{5} \end{align} $

Jadi, sisi miring dari segitiganya adalah $6\sqrt{5}$.

Ingat kembali bahwa dalam pembagian $a:b$ sama saja dengan operasi pecahan $\dfrac{a}{b}$.

Sehingga bentuk operasi hitung bilangan di atas dapat kita tulis kembali menjadi,
$ \begin{align} & 1:\left(\dfrac{2}{3} \right):\left(\dfrac{3}{4} \right):\left(\dfrac{4}{5} \right):\left(\dfrac{5}{6} \right) \\ &= 1 \ \text{x} \ \dfrac{3}{2} \ \text{x} \ \dfrac{4}{3} \ \text{x} \ \dfrac{5}{4} \ \text{x} \ \dfrac{6}{5} \\ &= 1 \ \text{x} \ \dfrac{6}{2} \\ &= 3 \end{align} $

Jadi, $(1:(2:3):(3:4):(4:5):(5:6))$ adalah $3$.

Misal bilangan yang dimaksud soal adalah $x$, maka :
$ \begin{align} \dfrac{30}{100} \ x &= 81 \\ x &= \dfrac{(81)(100)}{30} \\ &= 270 \end{align} $

Jadi, bilangan yang dimaksud adalah $270$.

$ \begin{align} 17 &= \dfrac{20+18+8+m+n+24}{6} \\ 102 &= 70+m+n \\ 102 -70 &= m+n \\ 32 &= m+n \end{align} $

Rata - rata dari $m$ dan $n$,
$ \begin{align} \bar x_{m,n} &= \dfrac{32}{2} \\ &= 16 \end{align} $

Jadi, rata - rata dari $m$ dan $n$ adalah $16$.

Panjang diagonal sisi suatu kubus jika diketahui rusuknya $a$ cm adalah $a\sqrt{2}$ cm.

Sehingga jika rusuknya $7$ cm maka panjang diagonal sisinya adalah $7\sqrt{2}$ cm.

Dengan demikian,
$ \begin{align} x &= 7\sqrt{2} \\ 2x-3 &= 2 \left( 7\sqrt{2} \right)-3 \\ &= 14\sqrt{2}-3 \\ \end{align} $

Jadi, nilai dari $2x-3$ adalah $14\sqrt{2}-3$.

Hexagon atau yang lebih kita kenal dengan nama bangun datar segi enam beraturan adalah sebuah bangun datar yang terdiri dari enam buah sisi yang sama.

Luas dari sebuah bangun datar hexagon dirumuskan dengan rumus, $L=\dfrac{1}{4}a^{2}\sqrt{3}$ jika diketahui panjang sisinya $a$ $cm$.

Dengan demikian,
$ \begin{align} L &= \dfrac{1}{4}a^{2}\sqrt{3} \\ 4\sqrt{3} &= \dfrac{1}{4}a^{2}\sqrt{3} \\ 4 &= \dfrac{1}{4}a^{2} \\ 16 &= a^{2} \\ 4 &= a \end{align} $

Jadi, panjang sisi dari bangun datar hexagon yang dimaksud adalah $4 \ cm$.

Misal sudut yang dimaksud adalah sudut $X$

Dengan demikian,
$ \begin{align} X &= 5(90^{\circ}-X) \\ X &= 450^{\circ}-5X \\ 6X &= 450^{\circ} \\ X &= \dfrac{450^{\circ}}{6} \\ X &= 75^{\circ} \end{align} $

Sudut pelurus $X$,
$ 180^{\circ}-75^{\circ} = 105^{\circ} $

Jadi, besar sudut pelurusnya adalah $105^{\circ}$.

Misal pecahan tersebut adalah $\dfrac{a}{b}$.

Diketahui :
$\spadesuit$ $2a-1=b$
$2a-b=1$ ----- $(i)$
$\spadesuit$ $a+b=8$ ----- $(ii)$

Eliminasi $(i)$ dan $(ii)$,
$ \begin{array}{cc} 2a-b =1 & \\ a+b =8 & (+) \\ \hline 3a=9 \ \to \ a=3 \end{array} $

Substitusi ke pers $(ii)$,
$3+b=8$ $\to$ $b=5$

Jadi, pecahan tersebut adalah $\dfrac{3}{5}$.

Karena waktu saat Tung dan Ting berpapasan adalah diwaktu yang sama, maka kita bisa memakai persamaan dalam perbandingan waktu $\to t_{1}=t_{2}$

Ingat kembali bahwa suatu kecepatan($v$) adalah hasil dari perbandingan Jarak($s$) dibagi dengan Waktu($t$), atau bisa kita tulis dengan,
$v=\dfrac{s}{t}$ sehingga $t=\dfrac{s}{v}$.

Misalkan Tung dan Ting akan bertemu pada jarak $x$ km dari posisi Tung maka,
$ \begin{align} \to t_{1} &= t_{2} \\ \dfrac{x}{60} &= \dfrac{10-x}{40} \\ 40x &= 600-60x \\ 100x &= 600 \\ x &= 6 \end{align} $

Selanjutnya kita akan cari tahu waktu dimana Tung sudah menempuh jarak sejauh $6$ km.

$t=\dfrac{s}{v}=\dfrac{6}{60}=0,1 \ \text{jam}$.

$0,1 \ \text{jam}=6 \ \text{menit}$

Jadi, Tung dan Ting akan berpapasan dijalan pada pukul $07.06$ WIB.

Misal :
$GS.D \to$ panjang garis singgung dalam.
$R \to$ jari - jari lingkaran besar.
$r \to$ jari - jari lingkaran kecil.

Rumus Garis Singgung Dalam Lingkaran :
$GS.D^{2}=\text{(Jarak Pusat)}^{2}- \left( R-r \right)^{2}$

Sehingga,
$ \begin{align} GS.D^{2} & =\text{(Jarak Pusat)}^{2}- \left( R+r \right)^{2} \\ GS.D^{2} &= 50^{2}- \left( 25+15 \right)^{2} \\ GS.D &= \sqrt{50^{2}-40^{2}} \\ &= \sqrt{2500-1600} \\ &= \sqrt{900} \\ &= 30 \end{align} $

Jadi, panjang garis singgung lingkaran dalam kedua bangun lingkaran tersebut adalah $30$ cm.

Misal :
$p \to$ panjang persegi panjang.
$l \to$ lebar persegi panjang

$p=l+3$

Maka,
$ \begin{align} K &= 2(p+l) \\ 54 &= 2 \left( (l+3)+l \right) \\ 27 &= 2l+3 \\ 24 &= 2l \\ l &= 12 \end{align} $

$l=12$ cm maka panjang dari persegi panjangnya $p=(l+3)=12+3=15$.

Sehingga luas persegi panjangnya,
$ \begin{align} L &= p \ \text{x} \ l \\ &= 15 \ \text{x} \ 12 \\ &= 180 \end{align} $

Jadi, luas dari persegi panjang tersebut adalah $180$ $\text{cm}^{2}$.

$ \begin{align} XXXX+YYYY+ZZZZ &= YXXXZ \\ 1111 \left( X+Y+Z \right) &= Y0000+XXX0+Z \\ 1111 \left( X+Y+Z \right) &= 10.000Y+10XXX+Z \\ 1111X+1111Y+1111Z &= 10.000Y+10XXX+Z \\ \left( XXXX-XXX0 \right)+\left( 1111Z-Z \right) &= 10.000Y-1111Y \\ X+1110Z &= 8889Y \end{align} $

Persamaan di atas hanya akan terpenuhi untuk $X=9$, $Z=8$ dan $Y=1$.

Jadi, nilai dari $XYZ$ adalah $918$.

Dengan memakai konsep $KPK$ kita akan mendapatkan bahwa nilai $KPK(5,7)=35$.

Sehingga Ding dan Dang akan berenang untuk kelima kalinya pada tahun 2023,
1 April 2023 + $(2 \ \text{x} \ 35)$ hari.

1 April 2023 + $70$ hari $=$ 9 Juni 2023.

Jadi, Ding dan Dang akan berenang bersama untuk kelima kalinya di tahun 2023 pada tanggal 9 Juni 2023.