Integral substitusi adalah salah satu teknik pengintegralan yang melibatkan turunan fungsi dalam proses pengerjaannya.
- Integral substitusi bentuk pangkat.
- Integral substitusi bentuk akar.
- Integral substitusi bentuk trigonometri.
- Integral tertentu menggunakan integral substitusi.
Seperti biasa yuk kita bahas dari yang paling mendasar.
Kenapa harus ada integral substitusi?
Apa itu teknik pengintegralan?
Kenapa harus pakai turunan?
Rumus - Rumus Dasar Integral
Ada beberapa rumus - rumus dasar dari integral yang harus kita pahami terlebih dahulu sebelum kita melangkah lebih jauh.
- $\int dx= x + c$
- $\int k\ dx= kx + c$
- $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$
- $\int \frac{1}{x} dx= ln\ \left |x \right | + c$
- $\int k f(x)\ dx=k \int f(x)dx =\frac{k}{n+1}x^{n+1}+c,\ n\neq -1$
- $\int \left(f(x) + g(x) \right)dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$
- $\int \left(f(x) - g(x) \right)dx=\int f(x)dx - \int g(x)dx$
Teknik Pengintegralan
Ada beberapa teknik pengintegralan yang harus kalian ketahui :
- Integral Dasar.
- Integral Substitusi.
- Integral Parsial.
Ketiga teknik pengintegralan di atas bersifat hirarki ya gengs...
Jadi integral yang paling sederhana adalah integral dasar.
Ketika fungsinya sudah semakin kompleks dan integral dasar sudah tidak mampu menjangkau untuk menyelesaikan maka digunakannlah integral substitusi.
Demikian seterusnya ketika suatu saat integral substitusi sudah tidak bisa menguraikan kompleksitas soalnya, maka integral parsial adalah pilihan yang tepat untuk penyelesaiannya.
Integral Substitusi
Misalkan $g$ adalah fungsi yang terdiferensialkan dan $F$ adalah anti turunan dari $f$ maka
$\int f(g(x)) \ g'(x) \ dx= F(g(x)) + c$.Beberapa ciri - ciri khas untuk mengindetifikasi integral substitusi adalah :
- Terdapat bagian turunan dari bagian fungsi pembentuk soal.
- Ada selisih pangkat tertinggi pada masing - masing fungsi pembentuknya.
- Terdapat bentuk akar dan pangkat yang tinggi.
Contoh Soal Integral Substitusi Bentuk Pangkat
1. Soal Integral Substitusi Bentuk Pangkat
Hasil dari $\int 2x(x^{2}-\pi)^{10} \ dx$ adalah...
Langkah pertama dari integral substitusi bentuk pangkat adalah kita misalkan dulu bentuk yang mempunyai pangkat terbesar.
Misalkan $u=x^{2}-\pi$ sehingga $\dfrac{du}{dx}=2x \to dx=\dfrac{du}{2x}$
Dengan demikian kita akan peroleh
$ \begin{align} \int 2x \cdot u^{10} \cdot \dfrac{du}{2x} &=\int u^{10} \ du \\ &= \dfrac{1}{11} u^{11}+c \\ &= \dfrac{1}{11} (x^{2}-\pi)^{11} +c \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (C) $\dfrac{1}{11} (x^{2}-\pi)^{11} +c$
2. Soal Integral Substitusi Bentuk Pangkat
Hasil dari $\int 2x^{2}(1-4x^{3})^{4} \ dx$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{30} (1-4x^{3})^{4} +c \\ (B)\ & \dfrac{1}{25} (1-4x^{3})^{5} +c \\ (C)\ & -\dfrac{1}{15} (1-4x^{3})^{4} +c \\ (D)\ & -\dfrac{1}{25} (1-4x^{3})^{4} +c \\ (E)\ & -\dfrac{1}{30} (1-4x^{3})^{5} +c \end{align} $
Misalkan $u=1-4x^{3}$ sehingga $\dfrac{du}{dx}=-12x^{2} \to dx=\dfrac{du}{-12x^{2}}$
Dengan demikian kita akan peroleh
$ \begin{align} & \int 2x^{2} \cdot u^{4} \cdot \dfrac{du}{-12x^{2}} \\ &=\int -\dfrac{1}{6} \ u^{4} \ du \\ &= \dfrac{-\dfrac{1}{6}}{5} u^{5}+c \\ &= -\dfrac{1}{30} u^{5} +c \\ &= -\dfrac{1}{30} (1-4x^{3})^{5} +c \end{align} $
Jadi jawaban yang benar adalah (E) $-\dfrac{1}{30} (1-4x^{3})^{5} +c$
3. Soal Integral Substitusi Bentuk Pangkat
Hasil dari $\int \dfrac{(6x-2)}{(9x^{2}-6x+12)^{3}} \ dx$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{6} (9x^{2}-6x+12)^{-2} +c \\ (B)\ & -\dfrac{1}{9} (9x^{2}-6x+12)^{-3} +c \\ (C)\ & \dfrac{1}{6} (9x^{2}-6x+12)^{-3} +c \\ (D)\ & \dfrac{1}{9} (9x^{2}-6x+12)^{-6} +c \\ (E)\ & \dfrac{1}{9} (9x^{2}-6x+12)^{-4} +c \end{align} $
Misalkan $u=9x^{2}-6x+12$ sehingga $\dfrac{du}{dx}=(18x-6) \to dx=\dfrac{du}{(18x-6)}$
Dengan demikian kita akan peroleh $ \begin{align} & \int (6x-2) \cdot u^{-3} \cdot \dfrac{du}{(18x-6)} \\ &=\int (6x-2) \cdot u^{-3} \cdot \dfrac{du}{3(6x-2)} \\ &=\int \dfrac{1}{3} \ u^{-3} \ du \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{3}}{-2} u^{-2}+c \\ &= -\dfrac{1}{6} u^{-2} +c \\ &= -\dfrac{1}{6} (9x^{2}-6x+12)^{-2} +c \end{align}$
Jadi jawaban yang benar adalah (A) $-\dfrac{1}{6} (9x^{2}-6x+12)^{-2} +c$Contoh Soal Integral Substitusi Bentuk Akar
1. Soal Integral Substitusi Bentuk Akar
Hasil dari $\int 3x^{2} \sqrt{x^{3}-5} \ dx$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3} \sqrt{x^{3}-5} +c \\ (B)\ & \dfrac{3}{2} \sqrt{x^{3}-5} +c \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} (x^{3}-5) \sqrt{x^{3}-5} +c \\ (D)\ & \dfrac{2}{3} (x^{3}-5) \sqrt{x^{3}-5} +c \\ (E)\ & \dfrac{3}{2} (x^{3}-5)^{2} \sqrt{x^{3}-5} +c \end{align} $
Langkah pertama dari integral substitusi bentuk akar adalah kita misalkan dulu bentuk yang di dalam akar.
Misalkan $u=x^{3}-5$ sehingga $\dfrac{du}{dx}=3x^{2} \to dx=\dfrac{du}{3x^{2}}$
Dengan demikian kita akan peroleh
$ \begin{align} & \int 3x^{2} \cdot u^{\frac{1}{2}} \cdot \dfrac{du}{3x^{2}} \\ &=\int u^{\frac{1}{2}} \ du \\ &= \dfrac{1}{\frac{3}{2}} u^{\frac{3}{2}}+c \\ &= \dfrac{2}{3} u \sqrt{u} +c \\ &= \dfrac{2}{3} (x^{3}-5) \sqrt{x^{3}-5} +c \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (D) $\dfrac{2}{3} (x^{3}-5) \sqrt{x^{3}-5} +c$
2. Soal Integral Substitusi Bentuk Akar
Hasil dari $\int \dfrac{(2x-1)}{\sqrt{x^{2}-x+2}} \ dx$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 2 (x^{2}-x+2) \sqrt{x^{2}-x+2} +c \\ (B)\ & 2 \sqrt{x^{2}-x+2} +c \\ (C)\ & 4 \sqrt{x^{2}-x+2} +c \\ (D)\ & 4 (x^{2}-x+2) \sqrt{x^{2}-x+2} +c \\ (E)\ & \dfrac{1}{4} \sqrt{x^{2}-x+2} +c \end{align} $
Misalkan $u=x^{2}-x+2$ sehingga $\dfrac{du}{dx}=(2x-1) \to dx=\dfrac{du}{(2x-1)}$
Dengan demikian kita akan peroleh
$ \begin{align} & \int (2x-1) \cdot u^{-\frac{1}{2}} \cdot \dfrac{du}{(2x-1)} \\ &=\int u^{-\frac{1}{2}} \ du \\ &= \dfrac{1}{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}+c \\ &= 2 \sqrt{u} +c \\ &= 2 \sqrt{x^{2}-x+2} +c \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (B) $2 \sqrt{x^{2}-x+2} +c$
3. Soal Integral Substitusi Bentuk Akar
Hasil dari $\int 6x^{2} \sqrt{x^{3}-\theta} \ dx$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3} (x^{3}-\theta) \sqrt{x^{3}-\theta} +c \\ (B)\ & \dfrac{4}{3} \sqrt{x^{3}-\theta} +c \\ (C)\ & \dfrac{1}{3} \sqrt{x^{3}-\theta} +c \\ (D)\ & \dfrac{4}{3} (x^{3}-\theta) \sqrt{x^{3}-\theta} +c \\ (E)\ & \dfrac{1}{3} (x^{3}-\theta) \sqrt{x^{3}-\theta} +c \end{align} $
Misalkan $u=x^{3}-\theta$ sehingga $\dfrac{du}{dx}=3x^{2} \to dx=\dfrac{du}{3x^{2}}$
Dengan demikian kita akan peroleh
$ \begin{align} & \int 6x^{2} \cdot u^{\frac{1}{2}} \cdot \dfrac{du}{3x^{2}} \\ &=\int 2u^{\frac{1}{2}} \ du \\ &= \dfrac{2}{\frac{3}{2}} u^{\frac{3}{2}}+c \\ &= \dfrac{4}{3} u \sqrt{u} +c \\ &= \dfrac{4}{3} (x^{3}-\theta) \sqrt{x^{3}-\theta} +c \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (D) $\dfrac{4}{3} (x^{3}-\theta) \sqrt{x^{3}-\theta} +c$
Contoh Soal Integral Trigonometri Bentuk Substitusi
1. Soal Integral Trigonometri Bentuk Substitusi
Hasil dari $\int 2x \ \sin (x^{2}-\frac{1}{2} \pi) \ dx$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & -\sin (x^{2}-\frac{1}{2} \pi) +c \\ (B)\ & \sin (x^{2}-\frac{1}{2} \pi) +c \\ (C)\ & -\cos (x^{2}-\frac{1}{2} \pi) +c \\ (D)\ & \cos (x^{2}-\frac{1}{2} \pi) +c \\ (E)\ & -2 \cos (x^{2}-\frac{1}{2} \pi) +c \end{align} $
Misalkan $u=x^{2}-\frac{1}{2} \pi$ sehingga $\dfrac{du}{dx}=2x \to dx=\dfrac{du}{2x}$
Dengan demikian kita akan peroleh
$ \begin{align} & \int 2x \cdot \sin u \cdot \dfrac{du}{2x} \\ &=\int \sin u \ du \\ &= -\cos u+c \\ &= -\cos (x^{2}-\frac{1}{2} \pi) +c \end{align} $
Jadi pilihan jawabanyang benar adalah (C) $-\cos (x^{2}-\frac{1}{2} \pi) +c $
2. Soal Integral Trigonometri Bentuk Substitusi
Hasil dari $\int \sin^{3} (2x) \ \cos (2x) \ dx$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{8} \sin^{4} (2x) +c \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \sin^{4} (2x) +c \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \sin^{2} (2x) +c \\ (D)\ & \dfrac{1}{4} \sin^{2} (2x) +c \\ (E)\ & \dfrac{1}{8} \sin^{2} (2x) +c \end{align} $
Misalkan $u=\sin (2x)$ sehingga $\dfrac{du}{dx}=2 \cos (2x) \to dx=\dfrac{du}{2 \cos (2x)}$
Dengan demikian kita akan peroleh
$ \begin{align} & \int u^{3} \cdot \cos (2x) \cdot \dfrac{du}{2 \cos (2x)} \\ &=\int \dfrac{1}{2} u^{3} \ du \\ &= \dfrac{\frac{1}{2}}{4} u^{4} + c \\ &= \dfrac{1}{8} u^{4} +c \\ &= \dfrac{1}{8} \sin^{4} (2x) +c \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (A) $\dfrac{1}{8} \sin^{4} (2x) +c$
3. Soal Integral Trigonometri Bentuk Substitusi
Hasil dari $\int 4x \ \cos (x^{2}-6) \ dx$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 10 \ \sin (x^{2}-6) + c \\ (B)\ & 8 \ \sin (x^{2}-6) + c \\ (C)\ & 6 \ \sin (x^{2}-6) + c \\ (D)\ & 4 \ \sin (x^{2}-6) + c \\ (E)\ & 2 \ \sin (x^{2}-6) + c \end{align} $
Misalkan $u=x^{2}-6$ sehingga $\dfrac{du}{dx}=2x \to dx=\dfrac{du}{2x}$
Dengan demikian kita akan peroleh
$ \begin{align} & \int 4x \cdot \cos (u) \cdot \dfrac{du}{2x} \\ &=\int 2 \ \cos (u) \ du \\ &= 2 \ \sin (u) + c \\ &= 2 \ \sin (x^{2}-6) + c \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (E) $2 \ \sin (x^{2}-6) + c$
Contoh Soal UTBK-SBMPTN Integral Substitusi
1. Soal SBMPTN 2018 Kode 408
Jika $\int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx=\sqrt{2}$, maka nilai $\int \limits_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{2}} f \left( 1+ \dfrac{2}{x} \right)\ dx$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{4} \\ (B)\ & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ (C)\ & \sqrt{2} \\ (D)\ & 2\sqrt{2} \\ (E)\ & 4\sqrt{2} \end{align} $
$ \begin{align} \int \limits_{2}^{3} f \left( x \right)\ dx &= \sqrt{2} \\ \left[ F \left( x \right) \right]_{2}^{3} &= \sqrt{2} \\ F \left( 3 \right)-F \left( 2 \right) &= \sqrt{2} \end{align} $
Selanjutnya kita akan kerjakan menggunakan integral substitusi, yaitu dengan memisalkan $u=1+\dfrac{2}{x}$ sehingga kita akan dapatkan
$ \begin{align} u & = 1+\dfrac{2}{x} \\ \dfrac{du}{dx} & = -\dfrac{2}{x^{2}} \\ -\dfrac{du}{2} & = \dfrac{2}{x^{2}} \end{align} $Dari bentuk permisalan tersebut kita akan ubah bentuk integral yang ditanyakan kedalam variabel $u$. $ \begin{align} & \int \limits_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{2}} f \left( 1+ \dfrac{2}{x} \right)\ dx \\ &= \int \limits_{1}^{2} f \left( 1+ \dfrac{2}{x} \right)\ \dfrac{dx}{x^{2}} \\ \end{align} $ $ \begin{align} \hline x=2 \rightarrow \\ &u= 1+\dfrac{2}{x}= 1+\dfrac{2}{2}=2 \\ x=1 \rightarrow \\ &u= 1+\dfrac{2}{x}= 1+\dfrac{2}{1}=3 \\ \hline \end{align} $ $ \begin{align} & \int \limits_{1}^{2} f \left( 1+ \dfrac{2}{x} \right)\ \dfrac{dx}{x^{2}} \\ &= \int \limits_{3}^{2} f \left( u \right)\ \cdot -\dfrac{du}{2} \\ &=-\dfrac{1}{2} \int \limits_{3}^{2} f \left( u \right)\ du \\ &=-\dfrac{1}{2} \left[F (u) \right]_{3}^{2} \\ &=-\dfrac{1}{2} \left( F \left( 2 \right)-F \left( 3 \right) \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( F \left( 3 \right)-F \left( 2 \right) \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{2} \right) \\ \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (B) $\dfrac{1}{2} \left( \sqrt{2} \right)$
2. Soal SBMPTN 2018 Kode 420
Nilai $\int \limits_{0}^{2} \left( 3x+9 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 16 \\ (D)\ & 32 \\ (E)\ & 64 \end{align} $
Misal $u=x^{2}+6x$ sehingga kita akan dapatkan $ \begin{align} u & = x^{2}+6x \\ \dfrac{du}{dx} & = 2x+6 \\ \dfrac{du}{dx} & = 2(x+3) \\ \dfrac{du}{2} & = (x+3)dx \end{align} $
Dengan demikian kita akan peroleh $ \begin{align} & \int \limits_{0}^{2} \left( 3x+9 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx \\ &= \int \limits_{0}^{2} 3\left( x+3 \right) \sqrt{x^{2}+6x}\ dx \\ &= \int \limits_{0}^{2} 3 \sqrt{x^{2}+6x}\ \left( x+3 \right) dx \\ &= \int \limits_{0}^{2} 3 \sqrt{u}\ \dfrac{du}{2} \\ &= \dfrac{3}{2} \int \limits_{0}^{2} \sqrt{u}\ du \\ &= \dfrac{3}{2} \left[ \dfrac{2}{3} u\sqrt{u} \right]_{0}^{2} \\ &= \dfrac{3}{2} \left[ \dfrac{2}{3} \left( x^{2}+6x \right) \sqrt{x^{2}+6x} \right]_{0}^{2} \\ &= \left[ \left( (2)^{2}+6(2) \right) \sqrt{(2)^{2}+6(2)} \right]-\left[ 0 \right] \\ &= \left( 16 \right) \sqrt{16} \\ &= 64 \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (E) $64$
3. Soal SBMPTN 2018 Kode 421
Nilai $\int \limits_{1}^{36} \dfrac{3}{\sqrt{x} \left(3 + \sqrt{x} \right)^{\frac{3}{2}}}\ dx$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align} $
Misal $u=3 + \sqrt{x}$ sehingga kita akan peroleh
$ \begin{align} u & = 3 + \sqrt{x} \\ \dfrac{du}{dx} & = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\ 2\ du & = \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \end{align} $
Dari permisalan di atas kita akan peroleh
$ \begin{align} & \int \limits_{1}^{36} \dfrac{3}{\sqrt{x} \left(3 + \sqrt{x} \right)^{\frac{3}{2}}}\ dx \\ &= \int \limits_{1}^{36} \dfrac{3}{\left(3 + \sqrt{x} \right)^{\frac{3}{2}}} \cdot \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\ &= \int \limits_{1}^{36} \dfrac{3}{u^{\frac{3}{2}}}\ 2 du \\ &= \int \limits_{1}^{36} \dfrac{6}{u^{\frac{3}{2}}}\ du \\ &= 6 \left[ \dfrac{-2}{u^{\frac{1}{2}}} \right]_{1}^{36} \\ &= -12 \left[ \dfrac{1}{\sqrt{3 + \sqrt{x}}} \right]_{1}^{36} \\ &= -12 \left( \dfrac{1}{\sqrt{3 + \sqrt{36}}} - \dfrac{1}{\sqrt{3 + \sqrt{1}}} \right) \\ &= -12 \left( \dfrac{1}{\sqrt{9}} - \dfrac{1}{\sqrt{4}} \right) \\ &= -12 \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} \right) \\ &= -12 \left( \dfrac{2-3}{6} \right)=2 \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (B) $2$
Nah sahabat kreatif, itu lah pembahasan Rangkuman Integral Substitusi Contoh Soal dan Latihan Lengkap.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
