Τα έχουμε ξαναπεί και στο παρελθόν, τα μαθηματικά, ιδιαίτερα τα σχολικά, είναι συνυφασμένα με τις εποχές του χρόνου. Και μαζί με τη φθινοπωρινή δροσιά του Σεπτέμβρη έρχονται και οι άρρητοι. Γιατί, κάπου τώρα είναι που σκεφτόμαστε και προβληματιζόμαστε γιατί και πώς να διδάξουμε τη ρημάδα την απόδειξη της αρρητότητας του Τους διδακτικούς στόχους αυτής της απόδειξης τους έχουμε συζητήσει αρκετά στο παρελθόν, όταν και ανακαλύψαμε, με περισσή έκπληξη, ότι η κλασική σχολική απόδειξη δεν είναι μία απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο – ναι, ναι, αν δεν το θυμάστε, μπορείτε να κάνετε μία επανάληψη.

Άντε, πες ότι δεν αποδεικνύουμε έτσι την αρρητότητα του όπως στο σχολικό βιβλίο. Τότε, τι θα απογίνουμε χωρίς τους άρρητους; Πρέπει κάπως να αποδείξουμε στην τάξη ότι κάποιοι αριθμοί δεν μπορούν να γραφτούν ως κλάσματα και, άρα, ότι δεν είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί ρητοί, οπότε έχει νόημα να μιλάμε για το σύνολο των πραγματικών αριθμών ως ένα γνήσιο υπερσύνολο του συνόλου των ρητών.

Μπορούμε, άραγε, να παρουσιάσουμε μία κομψή απόδειξη της αρρητότητας του χωρίς να καταφύγουμε στην παραδοσιακή απόδειξη;

Η Κλασική Απόδειξη

Την έχουμε ξαναδεί αναλυτικά αυτή την απόδειξη, αλλά για λόγους πληρότητας θα την παρουσιάσουμε κι εδώ, ως τη βασική περίπτωση. Λοιπόν, ας υποθέσουμε (προς άτοπο) ότι ο είναι ρητός, δηλαδή υπάρχουν δύο θετικοί ακέραιοι αριθμοί έτσι ώστε:

και, επιπλέον, υποθέτουμε ότι το παραπάνω κλάσμα είναι ανάγωγο, δηλαδή ότι οι έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη το 1. Υψώνουμε την παραπάνω ισότητα στο τετράγωνο – τι πιο φυσικό να κάνουμε με μία τετραγωνική ρίζα; – οπότε και έχουμε τα εξής:

Συνεπώς, ο είναι άρτιος – ως πολλαπλάσιο του 2 – και άρα και ο είναι άρτιος (αυτό θέλει απόδειξη, αλλά είναι εύκολο να το δείτε, καθώς το τετράγωνο ενός περιττού είναι περιττός – βέβαια, το σχολικό βιβλίο το θεωρεί λίγο έως πολύ προφανές ή γνωστό από κάπου αλλού). Τώρα, αφού ο είναι άρτιος, έπεται άμεσα ότι για κάποιον θετικό ακέραιο και άρα έχουμε το εξής:

Αυτό, όπως φαντάζεστε, σημαίνει ότι και ο είναι άρτιος και άρα και ο είναι άρτιος. Επομένως, με λίγο κόπο δείξαμε ότι οι είναι αμφότεροι άρτιοι, άρα έχουν κοινό διαιρέτη το 2. Ωστόσο, είχαμε υποθέσει παραπάνω ότι έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη το 1, πράγμα που μας οδηγεί σε αντίφαση. Άρα δεν ισχύει η υπόθεσή μας ότι ο είναι ρητός, άρα, μαντέψτε, είναι άρρητος.

Κλασική, διαχρονική, σχολική (;) απόδειξη. Το βασικό της πρόβλημα όταν πάμε να τη διδάξουμε στην Α’ Λυκείου είναι ότι επικαλείται απλά μεν, άγνωστα δε, αποτελέσματα από τη θεωρία αριθμών και, γενικότερα, έχει μία προσέγγιση πλήρως ξένη προς όσες αποδείξεις έχουν παρουσιαστεί μέχρι εκείνη τη στιγμή στη σχολική ύλη. Διότι, από εκεί που τα παιδιά έχουν μάθει να αποδεικνύουν ισότητες και, στο τσακίρ κέφι, και καμία ανισότητα, τώρα ξαφνικά αποδεικνύουμε ένα πιο περίπλοκο ισχυρισμό με αρκετά ασυνήθιστα μέσα.

Όμως, μη μακρηγορούμε, τα έχουμε πει όλα αυτά πολύ αναλυτικά εδώ. Ας περάσουμε τώρα σε άλλες, ίσως πιο κατάλληλες, σίγουρα όμως αρκετά ενδιαφέρουσες αποδείξεις.

Το Θυμάστε το Πυθαγόρειο;

Ένα από τα πιο διάσημα επώνυμα θεωρήματα είναι το γνωστό και μη εξαιρετέο Πυθαγόρειο Θεώρημα. Ακόμα καλύτερα, το θεώρημα αυτό το διδάσκεται κανείς πρώτη φορά αρκετά νωρίς, στη Β’ Γυμνασίου, οπότε όταν τα παιδιά έρχονται στην Α’ Λυκείου, είναι ήδη μέρος του οπλοστασίου τους. Όμως, τι σχέση έχει το Πυθαγόρειο με τον άραγε;

Ρίξτε μια ματιά στο παρακάτω σχήμα:

Αυτό είναι η κλασική κατασκευή με κανόνα και διαβήτη της τετραγωνικής ρίζας του 2. Για να το πετύχουμε αυτό σχεδιάζουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές μήκους 1, οπότε το Πυθαγόρειο Θεώρημα μας πληροφορεί ότι για την υποτείνουσά του, έστω ισχύει το εξής:

Δηλαδή, μας εγγυάται το Πυθαγόρειο Θεώρημα (και το αντίστροφό του) ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με τη μία του πλευρά να είναι ίση με

Αλήθεια, μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη κάθε ευθύγραμμο τμήμα; Αν απαντήσατε «ναι» ή αν δεν ξέρετε γιατί απαντήσατε «όχι», ρίξτε μια ματιά εδώ.

Τώρα, ας υποθέσουμε ότι ο είναι ρητός, δηλαδή ότι υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι ώστε να ισχύει:

Επίσης, μπορούμε να υποθέσουμε κατά τα γνωστά ότι το παραπάνω κλάσμα είναι ανάγωγο, δηλαδή, ότι αριθμητής και παρονομαστής έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη ίσο με 1. Αυτό σημαίνει επίσης και ότι τόσο ο αριθμητής όσο κα ιο παρονομαστής είναι οι ελάχιστοι δυνατοί. Δηλαδή, ο αριθμός αν είναι ρητός, δεν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα με μικρότερο αριθμητή ή παρονομαστή – κάτι τέτοιο θα σήμαινε ότι το κλάσμα μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω, πράγμα που θα σήμαινε ότι δεν είναι ανάγωγο. Κρατήστε αυτήν την παρατήρηση για το μέλλον.

Τώρα, ας θεωρήσουμε ένα τρίγωνο με δύο πλευρές μήκους και μία πλευρά μήκους Παρατηρήστε ότι σε αυτήν την περίπτωση έχουμε:

Με πιο απλά λόγια, έχουμε:

Συνεπώς, αυτό δεν είναι παρά ένα ορθογώνιο τρίγωνο, όπως μας πληροφορεί το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Μάλιστα, αν παρατηρήσετε προσεκτικά, δεν είναι τίποτα άλλο από το αρχικό μας τρίγωνο με πλευρές πολλαπλασιασμένες κατά – τον παρονομαστή, δηλαδή, του Για την ακρίβεια, τα δύο τρίγωνα θα μοιάζουν κάπως έτσι:

Αυτό το νέο τριγωνάκι έχει την εξαιρετική ιδιότητα όλες οι πλευρές του να είναι ακέραιοι αριθμοί. Πιάνουμε τώρα τον διαβήτη μας και μεταφέρουμε την πλευρά πάνω στην υποτείνουσα του τριγώνου, οπότε και παίρνουμε το παρακάτω σχήμα:

Τώρα, φέρουμε μία κάθετη από το στην η οποία τέμνει την στο όπως φαίνεται και παρακάτω:

Παρατηρήστε ότι το τρίγωνο είναι, πέρα από ορθογώνιο, και ισοσκελές, επομένως ισχύει ότι:

Μένει τώρα να υπολογίσουμε την υποτείνουσα αυτού του τριγώνου. Επειδή είναι ορθογώνιο, αυτό μπορεί να γίνει σχετικά εύκολα με τη βοήθεια του Πυθαγορείου Θεωρήματος:

Εδώ κάπου να θυμηθούμε ότι οπότε μπορούμε να κάνουμε την ακόλουθη αντικατάσταση:

Κι εδώ έρχεται ένα ακόμα μικρό τέχνασμα:

Ωραίο, ε; Απλώς εκμεταλλευτήκαμε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας του 2, τίποτα πιο αθώο από αυτό. Έτσι, το σχήμα μας τελικά έχει τις ακόλουθες διαστάσεις:

Τώρα, ας συνοψίσουμε λίγο τις ιδιότητες του

• Είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ακέραιες πλευρές (όλες τους είναι διαφορές ακεραίων).
• Οι δύο κάθετες πλευρές του είναι ίσες.

Ως απόρροια της δεύτερης ιδιότητάς του, ο λόγος της υποτείνουσας προς τις κάθετες πλευρές του πρέπει να είναι ίσος με οπότε και έχουμε:

Από την υπόθεσή μας έχουμε επίσης και ότι:

Είχαμε, μάλιστα, πει, ότι οι είναι οι ελάχιστοι αριθμητές και παρονομαστές στην παραπάνω γραφή, πράγμα που προφανώς έρχεται σε αντίφαση ότι εμείς γράψαμε τον με αριθμητή Συνεπώς, έχουμε αποδείξει ότι ο δεν μπορεί να είναι ρητός, άρα είναι άρρητος.

Ωραία απόδειξη, γεωμετρική, με αναφορές κυρίως σε απλές κατασκευές από τη σχολική γεωμετρία, ωστόσο πόσο κατάλληλη είναι μία τέτοια απόδειξη για την τάξη; Η αλήθεια είναι ότι αυτό «παίζεται». Πράγματι, η απόδειξη αυτή φέρνει κοντά γνωστές πλην όμως ασύνδετες έννοιες για τα παιδιά της Α’ Λυκείου, όπως το Πυθαγόρειο Θεώρημα και τις κατασκευές με κανόνα και διαβήτη, στα χωράφια της άλγεβρας. Όπως και κάθε τέτοια νέα σύνδεση, έτσι κι αυτή είναι ένα δίκοπο μαχαίρι, αφού εξαρτάται πολύ από το τμήμα που έχει κανείς στα χέρια του και τη διαχείριση μέσα στην τάξη το αν η απόδειξη θα παρακινήσει τα παιδιά ή απλά θα την κοιτάζουν όλο απορία.

Από την άλλη, ίσως η παραπάνω απόδειξη να βγάζει περισσότερο νόημα καθώς κανείς προχωρά στο σχολικό έτος. Ίσως είναι νωρίς τις πρώτες εβδομάδες, μέσα σε όλη την αναταραχή που φέρνει η άλγεβρα της Α’ Λυκείου στο μαθηματικό οικοδόμημα των μαθητών να έρθει και μία κομψή, μεν, αλλά πλατιά ως προς τα μέσα της απόδειξη. Βέβαια, από την άλλη μεριά, ακριβώς αυτό το πλάτος μας δίνει τις απαραίτητες αφορμές να συζητήσουμε στην τάξη πώς δουλεύουν τα μαθηματικά, τονίζοντας αυτόν τον διαθεματικό χαρακτήρα τους – καταλήξαμε σε μία απόδειξη περί αριθμών μέσα από την αξιοποίηση της ομοιότητας τριγώνων και το Πυθαγόρειο Θεώρημα, πραγμάτων που σπάνια εμφανίζονται σε ένα τμήμα άλγεβρας.

Στο τέλος της ημέρας, η απόδειξη αυτή ίσως να μην είναι απλούστερη από την κλασική απόδειξη που έχει το σχολικό βιβλίο για την αρρητότητα του είναι όμως μία απόδειξη που δεν επικαλείται πράγματα που τα παιδιά δεν έχουν διδαχθεί στο παρελθόν. Κι αυτό της το χαρακτηριστικό είναι αρκετά ενδιαφέρον από μόνο του.

Πέφτοντας στο Διηνεκές

Η απόδειξη που συζητήσαμε μόλις πριν από λίγες γραμμές (και η οποία αποδίδεται στον Tom M. Apostol) κρύβει πολύ περίτεχνα μία απειρία μέσα της. Αυτήν εδώ την απειρία θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε χειρουργικά με την επόμενη απόδειξή μας. Θα εργαστούμε πάλι με μία «σχολική» απαγωγή σε άτοπο, όπως και παραπάνω.

Τι διαφορά έχει η «σχολική» με την κανονική απαγωγή σε άτοπο; Αν δε θυμάστε, ρίξτε μια ματιά εδώ.

Ας υποθέσουμε, λοιπόν, ότι ο είναι ρητός, δηλαδή γράφεται στη μορφή:

όπου είναι θετικοί ακέραιοι και, κατά τα γνωστά, έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη ίσο με 1. Τώρα, επειδή ισχύει ότι:

αν θέσουμε ισχύει ότι:

Αντικαθιστώντας στη σχέση παίρνουμε: