Πολλές φορές χρειάζεται κανείς να σχεδιάσει μία καμπύλη με κάποιες συγκεκριμένες καλές ιδιότητες:

• να είναι μονότονη σε συγκεκριμένα διαστήματα,
• να έχει ακρότατα σε συγκεκριμένα σημεία,
• να έχει σημεία καμπής σε συγκεκριμένα σημεία,

και ούτω καθεξής. Στο χαρτί ή στον πίνακα αυτό είναι σχετικά εύκολο, είναι η αλήθεια, και δε χρειάζεται, δα, και κάποια τρομερή επιδεξιότητα. Ωστόσο, τι γίνεται όταν θέλουμε να σχεδιάσουμε μία τέτοια καμπύλη στον υπολογιστή μας;

Η αλήθεια είναι ότι μία γραφίδα μπορεί, σε έναν μεγάλο βαθμό, να λύσει τέτοια προβλήματα. Ειδικότερα, δε, αν μιλάμε για κάποιο καλό κιτ σχεδίασης γραφικών, τότε το αποτέλεσμα θυμίζει ή, πολλές φορές, ξεπερνά τις προσδοκίες μας. Αλλά, για να κάνουμε μία μικρή γραφική παράσταση δεν είναι κρίμα να ξοδέψουμε τα μαλλιά της κεφαλής μας; Δεν είναι κάπως σαν να παίρνουμε μία καραμπίνα για να σκοτώσουμε ένα τόσο δα κουνουπάκι; – έκφραση δανεισμένη από μαθητή μου, βλ. εδώ.

Τι θα έλεγε ο Karl Weierstrass;

Ο Karl Weierstrass είναι ένας από τους πρωτεργάτες του σύγχρονου απειροστικού λογισμού. Οπότε, είναι απολύτως λογικό να απευθυνθούμε σε αυτόν για ένα ζήτημα τόσο φλέγον όσο η χάραξη μίας γραφικής παράστασης. Αλλά, επειδή είναι λίγο δύσκολο να του μιλήσουμε απευθείας τα τελευταία χρόνια (λίγο η πανδημία, λίγο το ένα, λίγο το άλλο), θα τα πούμε με έναν από τους πιο γνωστούς απογόνους του: το Θεώρημα Προσέγγισης του Weierstrass.

Το εν λόγω θεώρημα έχει ως εξής:

An είναι μία συνεχής συνάρτηση, τότε για κάθε υπάρχει μία πολυωνυμική συνάρτηση έτσι ώστε για κάθε να ισχύει ότι

Πρακτικά, το παραπάνω μας λέει ότι αν μας δώσει κάποιος άνθρωπος μία συνάρτηση με γραφική παράσταση όπως η παρακάτω:

κι ένας άλλος άνθρωπος (μπορεί κι ο ίδιος, δεν έχει σημασία) μας ρωτήσει: «Μπορείτε να βρείτε ένα πολυώνυμο με γραφική παράσταση μέσα στην πράσινη «ζώνη»;»:

εμείς θα του απαντήσουμε: «Βεβαίως!»

Πράγματι, όσο «στενή» και να είναι αυτή η πράσινη ζώνη γύρω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησής μας, εμείς μπορούμε, γιατί έτσι μας εγγυάται το Θεώρημα Προσέγγισης του Weierstrass, να βρούμε μία πολυωνυμική συνάρτηση με γραφική παράσταση που να «ζει» εκεί μέσα.

Άρα, θα πει κάποιος πιο πονηρεμένος, αν επιλέξουμε αυτή τη ζώνη να είναι αρκετά «στενή», η γραφική παράσταση του πολυωνύμου μας θα μοιάζει αρκετά με αυτήν της συνάρτησής μας. Άρα, αφού θα έχουμε τον τύπο του πολυωνύμου, θα μπορούμε εύκολα να τη σχεδιάσουμε και στον υπολογιστή μας – π.χ. χρησιμοποιώντας το GeoGebra ή το Desmos ή κάποιο άλλο εργαλείο.

Σωστά;

Όχι, είναι η αλήθεια. Όχι, τουλάχιστον, τόσο εύκολα όσο τα περιγράψαμε παραπάνω. Μπορεί ο κύριος Weierstrass να μας έχει δώσει ένα απείρου κάλλους αποτέλεσμα, ωστόσο δε μας έχει πει πώς μπορούμε να βρούμε ποιο ακριβώς είναι αυτό το πολυώνυμο – αυτό που ξέρουμε για αυτό είναι απλώς ότι υπάρχει.

Άρα, μία τρύπα στο νερό κάναμε…

Ρίζες

Παρέα με τα πολυώνυμα έρχονται και οι ρίζες τους. Πράγματι, αν ψάξετε στο Google τον όρο «πολυώνυμο» θα βρείτε περίπου 37,000 αποτελέσματα. Αν, τώρα προσθέσετε και τη λέξη «ρίζες» στη γραμμή αναζήτησης θα βρείτε περίπου 24,500 αποτελέσματα. Ήτοι, ο όρος «πολυώνυμο» εμφανίζεται περίπου δύο στις τρεις φορές παρέα με τον όρο «ρίζες» στο ελληνικό διαδίκτυο. Εντάξει, μπορεί να μην περιμέναμε την Google να μας επιβεβαιώσει κάτι που έχουμε καταλάβει ήδη από το σχολείο, αλλά είναι αρκετά ευχάριστο όταν οι υποψίες μας επιβεβαιώνονται (όχι πάντα, ίσως, αλλά ας μην ανοίξουμε τώρα υποθέσεις από το αρχείο χωρίς λόγο).

Τέλος πάντων, παρεκτραπήκαμε. Μιλώντας, όμως, για πολυώνυμα και ρίζες, ας δούμε τρία περίφημα και ξακουστά μονώνυμα:

Σχολικές γραφικές παραστάσεις, που κρύβουν όμως πολύ και ιδιαίτερα χρήσιμο φορτίο για την περίπτωσή μας. Παρατηρώντας λίγο τις παραπάνω καμπύλες, αρχικά βλέπουμε ότι και οι τρεις τους περνούν από την αρχή των αξόνων. Αν και προφανές, έχει ιδιαίτερη σημασία, καθώς και οι τρεις τους το κάνουν αυτό με έναν διαφορετικό τρόπο:

• η διασχίζει αμφότερους τους άξονες χωρίς να αγχώνεται η ιδιαίτερα,
• η ίσα που χαϊδεύει τον οριζόντιο άξονα, μένοντας από τη μία μεριά του μόνο και,
• η περνά διστακτικά αλλά επιδέξια από τη μία μεριά του άξονα προς την άλλη.

Πιο επιστημονικά, θα μπορούσαμε να συνοψίσουμε τα παραπάνω σε έναν πίνακα όπως αυτόν εδώ:

Όπως εύκολα παρατηρεί κανείς, αυτό που διαφοροποιεί τα παραπάνω μονώνυμα είναι ο βαθμός τους, που κυμαίνεται από 1 έως 3. Για την ακρίβεια, η ουσιώδης διαφορά βρίσκεται λίγο πιο… δίπλα από την έννοια του βαθμού. Γενικά, ορίζουμε ως πολλαπλότητα μίας ρίζας ενός πολυωνύμου τον μέγιστο εκθέτη έτσι ώστε:

όπου, σαφώς, το δεν έχει το ως παράγοντα. Πρακτικά, η πολλαπλότητα μίας ρίζας, είναι το (μέγιστο δυνατό) πλήθος των φορών που εμφανίζεται ο παράγοντας στην παραγοντοποίηση του Έτσι, για παράδειγμα, το παρακάτω πολυώνυμο:

έχει το ως ρίζα πολλαπλότητας 2 (διπλή ρίζα), το ως ρίζα πολλαπλότητας 4 (τετραπλή ρίζα) και το ως ρίζα πολλαπλότητας 3 (τριπλή ρίζα).

Χρησιμοποιώντας την έννοια της πολλαπλότητας, μπορούμε να ξαναγράψουμε τον παραπάνω πίνακα ως εξής:

Είναι αρκετά απλό να αποδείξει κανείς τις παραπάνω ιδιότητες, ακόμα και με σχολική ύλη. Όλες οι αποδείξεις βασίζονται στην ακόλουθη σχετικά προφανή αναδιατύπωση του ορισμού της πολλαπλότητας:

Ένας αριθμός θα λέμε ότι είναι ρίζα πολλαπλότητας ενός πολυωνύμου αν υπάρχει ένα πολυώνυμο που δεν έχει ρίζα το έτσι ώστε:

Με βάση αυτήν μπορούμε να αποδείξουμε και το ακόλουθο κομψό αποτέλεσμα:

Ένας αριθμός είναι ρίζα πολλαπλότητας ενός πολυωνύμου αν και μόνο αν είναι ρίζα κάθε παραγώγου τάξεως μέχρι και και δεν είναι ρίζα της παραγώγου τάξεως του

Η απόδειξη είναι σχετικά απλή. Για το ευθύ, αν έχουμε μία ρίζα, ενός πολυωνύμου, πολλαπλότητας τότε θα υπάρχει ένα πολυώνυμο που δεν έχει ρίζα το και ισχύει:

Η απόδειξη θα προχωρήσει με επαγωγή στο

• Επαγωγική Βάση: Για έχουμε και άρα επομένως που ήταν το ζητούμενο.
• Επαγωγική Υπόθεση: Υποθέτουμε ότι για κάποιο έχουμε αποδείξει το ζητούμενο, δηλαδή ότι αν με το να μην είναι ρίζα του τότε το είναι ρίζα της για κάθε αλλά όχι και της
• Επαγωγικό Βήμα: Έστω ένα πολυώνυμο έτσι ώστε και το να μην είναι ρίζα του Τότε έχουμε Συνεπώς, το έχει το ως ρίζα πολλαπλότητας καθώς $q(\rho)\neq0$ και άρα από την επαγωγική μας υπόθεση γνωρίζουμε ότι το και όλες (και μόνο αυτές) οι παράγωγοί του μέχρι και τάξεως έχουν ρίζα το Όμως, αυτές είναι ακριβώς οι παράγωγοι μέχρι και τάξεως του που ήταν το ζητούμενο.

Αντίστροφα, τώρα, θα αποδείξουμε ότι αν ισχύει για κάποιο πολυώνυμο και έναν αριθμό ότι το ίδιο το και κάθε παράγωγος του μέχρι και τάξεως έχει το ως ρίζα του ενώ το δεν είναι ρίζα της παραγώγου τάξης τότε υπάρχει ένα πολυώνυμο που δεν έχει το ως ρίζα του έτσι ώστε:

Όπως και παραπάνω, θα εργαστούμε με επαγωγή στο

• Επαγωγική Βάση: Για το ζητούμενο είναι τετριμμένο, καθώς η υπόθεσή μας είναι ότι το είναι ρίζα του αλλά όχι του Δηλαδή, ενώ Συνεπώς, το γράφεται ως για κάποιο πολυώνυμο Παρατηρούμε ότι επομένως άρα το δεν έχει ως ρίζα το που ήταν και το ζητούμενο.
• Επαγωγική Υπόθεση: Υποθέτουμε ότι ισχύει το ζητούμενο για κάποιο Δηλαδή, υποθέτουμε ότι αν ισχύει ότι το είναι ρίζα κάθε παραγώγου τάξης μέχρι και και δεν είναι ρίζα της τότε το γράφεται στη μορφή όπου το δεν έχει ως ρίζα το
• Επαγωγικό Βήμα: Ας υποθέσουμε ότι έχο