Na vida real há muitas situações nas quais o consumidor é desrespeitado nas suas relações com o sistema financeiro ou com o comércio em geral, mas os casos mais frequentes são as taxas de juros abusivas cobradas tanto nos empréstimos em prestações como nas compras em prestações.
Para o consumidor se defender dessas armadilhas, é necessário que ele tenha em mãos uma ferramenta para determinação da taxa de juros embutida num empréstimo em prestações iguais e periódicas ou numa compra em prestações iguais e periódicas. É o que se vai ver nos exemplos a seguir.
Exemplo 1
Uma loja vende um produto à vista por R\$500,00 ou em 2 prestações iguais e mensais de R\$257,52. Se a primeira prestação for paga um mês após a compra, qual a taxa mensal cobrada pela loja?
Resolução:
Toda compra em prestações o vendedor usa juros compostos. O montante em juros compostos é dado pela seguinte fórmula:
$M$: Montante, valor futuro ou valor final.
Como a 1ª prestação vai ser paga um mês após a compra, logo: o montante da 1ª prestação no fim do 2º mês é dado por:
Resolução:
Toda compra em prestações o vendedor usa juros compostos. O montante em juros compostos é dado pela seguinte fórmula:
$M=C.(1+i)^{t}$
Onde:$M$: Montante, valor futuro ou valor final.
$C$: Capital inicial, valor presente ou valor à vista.
$i$: taxa de juros.
$t$: tempo ou período.
Decorrido um mês, o comprador vai pagar a 1ª prestação. O vendedor ao receber os R\$257,52, da 1ª prestação, ele não vai guardá-los no cofre; ele vai a uma instituição financeira e aplica os R\$257,52 a uma certa taxa de juros por um determinado tempo.
Já que a venda do produto foi em duas prestações mensais, logo, o contrato da compra termina após dois meses. Quando o vendedor receber o valor da 1ª prestação ele vai aplicar os R\$257,52 por um mês, ou seja, (2-1).
Seja:
Já que a venda do produto foi em duas prestações mensais, logo, o contrato da compra termina após dois meses. Quando o vendedor receber o valor da 1ª prestação ele vai aplicar os R\$257,52 por um mês, ou seja, (2-1).
Seja:
$P_{1}$ = Valor da 1ª prestação.
$P_{2}$ = Valor da 2ª prestação.
Como a 1ª prestação vai ser paga um mês após a compra, logo: o montante da 1ª prestação no fim do 2º mês é dado por:
$M_{P1}=257,52.(1+i)^{2-1}$ ou $M_{P1}=257,52.(1+i)$
O montante da 2ª prestação no fim do 2º mês é dado por:
$M_{P2}=257,52.(1+i)^{2-2}$ ou $M_{P2}=257,52.(1+i)^{0}$ ou $M_{P2}=257,52$.
O montante do valor à vista no fim do 2º mês é dado por:
$M_{c}=500.(1+i)^{2}$
Como o montante do valor à vista, obrigatoriamente, tem que ser igual ao montante das duas prestações, logo:
$M_{C}=M_{P1}+M_{P2}$
$500.(1+i)^{2}=257,52.(1+i)+257,52$
$500.(1+i)^{2}-257,52.(1+i)-257,52=0$ $(1)$
Designando $(1+i)=x$ e substituindo na $(1)$, obtém-se: $500.x^{2}-257,52.x-257,52=0$.
Já que a equação é do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara e uma calculadora, obtém-se: $x = 1,0199874$. Como $(1+i)=x$, logo, $1+i=1,0199874$ e $i≅0,02$ (taxa de juros na forma unitária). Multiplicando por 100, obtém-se: $0,02.100=2\%$ (taxa na forma percentual).
Verificação:
$500.(1 + 0,02)^{2}-257,52.(1+0,02)-257,52=0,0096≅0$
Resposta: A loja está cobrando uma taxa mensal de 2%.
Observação: Se a raiz quadrada do discriminante não for exata, use todas as casas decimais que aparecem no visor da calculadora. Da mesma forma use todas as casas decimais do valor de $x$.
O modelo geral, para uma compra em duas prestações iguais, a primeira prestação paga um mês após a compra, é:
$C.(1+i)^{2}-P.(1+i)-P=0$
Exemplo 2
Outra loja vende o mesmo produto à vista por R\$600,00 ou em 2 prestações iguais e mensais de R\$322,69. Se a primeira prestação for paga um mês após a compra, qual a taxa mensal cobrada pela loja?
Resolução:
Dados:
$C=R\$600,00$
$P=R\$322,69$
$t=2$
$i=?$
Substituindo os dados no modelo geral, obtém-se:
$600.(1+i)^{2}-322,69.(1+i)-322,69=0$
Já que a equação é do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara e uma calculadora, obtém-se: $x=1,0500154$.
Como $(1+i)=x$, logo, $1+i=1,0500154$ e $i≅0,05$ (taxa de juros na forma unitária). Multiplicando por $100$, obtém-se: $0,05.100=5\%$ (taxa na forma percentual).
Verificação:
$600.(1+0,05)^{2}-322,69.(1+0,05)-322,69=0,001≅0$
Resposta. A loja está cobrando uma taxa mensal de 5%.
Exemplo 3
Numa outra loja vende-se o mesmo produto à vista por R\$500,00 ou em 3 prestações iguais e mensais de R\$176,47. Se a 1ª prestação for dada como entrada, qual a taxa mensal cobrada pela loja?
Resolução:
Como a 1ª prestação é dada como entrada, logo, o preço à vista será subtraído de R\$176,47. Nesse caso o modelo geral é:
$[(C-P)].(1+i)^{2}-P(1+i)-P=0$.
Substituindo os dados no modelo geral, obtém-se:
$[(500-176,47)].(1+i)^{2}-P(1+i)-P=0$
$323,53.(1+i)^{2}-176,47.(1+i)-176,47=0$
Já que a equação é do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara e uma calculadora, obtém-se: $x=1,0600193$.
Como $(1+i)=x$, logo, $1+i=1,0600193$ e $i≅ 0,06$ (taxa de juros na forma unitária). Multiplicando por 100, obtém-se: $0,06.100=6\%$ (taxa na forma percentual).
Verificação:
$323,53.(1+0,06)^{2}-176,47.(1+0,06)-176,47=0,001≅0$.
Resposta: A loja está cobrando uma taxa mensal de 6%.
Concluindo
Comparando as respostas do exemplo 1 com a resposta do exemplo 3, nota-se que uma compra em prestações iguais com entrada igual ao valor da prestação, a taxa é maior que uma compra em prestações sem entrada. A taxa do exemplo 3 foi três vezes maior do que a taxa do exemplo 1.
Este é um guest post (artigo convidado). Foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.
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