ÁLGEBRA BÁSICA
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0.1.- NOCIONES DE LÓGICA
falso, pero no ambas cosas a la vez. Si una proposición es verdadera se le
asigna la letra V (o el valor 1) y si es falsa, la letra F (o el valor 0).
TAUTOLOGÍA: Es una proposición que siempre es verdadera.
ABSURDO: Es una proposición que siempre es falsa.
• Disyunción: p o q (p ∨ q).
• Conjunción: p y q (p ∧ q).
• Implicación: p ⇒ q (p → q). Se lee: Si p entonces q.
• Doble implicación: p ⇔ q (p ↔ q). Se lee: p si y sólo si q.Los
resultados de operar lógicamente con proposiciones quedan
determinados por los valores de verdad que se les asigna, los cuales
dependerán de los que tengan las proposiciones de partida. Éstos, se suelen
representar en las llamadas “tablas de verdad”. Las tablas de verdad de las
proposiciones definidas anteriormente son las siguientes:
PAnorama
FUNCIÓN PROPOSICIONAL:
Si p(x) es una expresión que se convierte en proposición al sustituir x
por un objeto matemático, entonces se dice que p es una función
proposicional. También hay funciones proposicionales con más de un
objeto matemático (p(x,y), p(x,y,z), …).
CUANTIFICADORES:
• Universal: Si p(x) es una proposición verdadera para
cualquiera que se x, entonces se escribirá ∀ x, p(x), que se
lee “para todo x se verifica p”
• Existencial:
a) Si p(x) es alguna vez una proposición verdadera para
al menos un cierto x, entonces se escribirá x, p(x),
que se lee “existe al menós un x para el que se
verifica p”
∃
b) Si p(x) es una proposición verdadera para un único x,
entonces se escribirá ∃ x, p(x), que se lee “existe un
sólo x para el que se verifica p”
TEOREMAS:
En una teoría matemática, se llaman teoremas a las proposiciones
verdaderas relativas a los objetos matemáticos de la misma. Los teoremas
se suelen enunciar en forma de implicaciones, ya que por ser las
implicaciones proposiciones verdaderas son teoremas. Generalmente, los
términos teorema e implicación se consideran equivalentes.
DEMOSTRACIÓN: El proceso lógico que, a partir de una
proposición ya probada p, conduce a la veracidad de otra
proposición q, es la demostración del teorema p q. La
demostración de un teorema se puede hacer de varias formas:
⇒
• Directa: Si son ciertas p y p q, entonces también lo es q. ⇒
• Contrarrecíproca: Consiste en probar que (no q) (no p),
en lugar de probar p ⇒ q.
⇒
• Reducción al absurdo: Consiste en suponer que q es falsa,
con lo que la hipótesis pasa a ser p y (no q) y probar que de
ello se deduce alguna contradicción.'
REFUTACIÓN: Refutar un supuesto teorema p q, es
comprobar que es falso, lo que se indica poniendo p q. Para
ello, se puede suponer que p y q son ciertas y encontrar a partir de
ello una contradicción, o bien encontrando un contraejemplo, es
decir, dar algún caso concreto en el que p sea verdadera y q sea
falsa.
;'
0.2.- TEORÍA DE CONJUNTOS
CONJUNTO:
Se define un conjunto como una colección o reunión de elementos
bien definidos y diferenciables. Generalmente se utilizan letras mayúsculas
para designar un conjunto. Pueden expresarse de dos formas:
• Por extensión: Indicando todos y cada uno de sus elementos.
Normalmente se escriben los elementos del conjunto entre llaves
({...}).
• Por comprensión: Dando una propiedad que cumplan todos los
elementos del conjunto y sólo ellos.
Para indicar que un elemento “pertenece” a un conjunto se usa el
símbolo de pertenencia, ∈.
SUBCONJUNTO:
Un conjunto S es subconjunto de otro conjunto C , si todos los
elementos de S son elementos de C . En este caso al conjunto S también se
denomina “parte” de C . Para indicarlo se usa el símbolo de inclusión,
⊂ ⊃ ; ( S C ⊂ ; C S ⊃ ). La inclusión de conjuntos se puede entender de dos
formas:
• En sentido amplio: S C ⊆ .
• En sentido estricto: S C ⊂ .
CONJUNTO VACIO: Es el conjunto que no tiene ningún
elemento. Se denota por ∅ .
NJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL: Es el conjunto
al que pertenece “todo” elemento y del cual todos los conjuntos
son subconjuntos. Se denota por I (o por U ).
Nota: Se trata de un referencial al que pertenecen todos los
elementos de los conjuntos surgidos en una situación o problema
determinado. Si a un conjunto se le considera universal también lo
serán todos los conjuntos que lo contienen.
DIAGRAMAS DE VENN:
Son la representación en el plano de los conjuntos.
OPERACIONES CON CONJUNTOS:
CONJUNTOS DISJUNTOS Y COMPLEMENTARIOS:
CARDINAL DE UN CONJUNTO FINITO:
0.3.- APLICACIONES
PRODUCTO CARTESIANO:
Las aplicaciones, también llamadas “funciones” se suelen
representar por las letras letras , y se representan por:
DOMINIO DE LA APLICACIÓN: Es el subconjunto de
elementos del conjunto origen para los cuales existe imagen:
IMAGEN DE LA APLICACIÓN: Es el subconjunto de
elementos del conjunto imagen que tienen origen:
TIPOS DE APLICACIONES:
SOBREYECTIVA: Todo elemento del conjunto imagen tiene “al menos” un origen:
COMPOSICIÓN DE APLICACIONES:
APLICACIÓN INVERSA:
0.4.- RELACIONES BINARIAS
RELACIONES DE EQUIVALENCIA:
Una relación binaria se dice de equivalencia, si cumple las
propiedades reflexiva, simétrica y transitiva
Propiedades:
• Ninguna clase es vacía; a cl a ∈ ( )
• Los elementos pertenecientes a la misma clase están
relacionados entre sí.
• Las clases son disjuntas, ya que si dos clases tienen un
elemento común es porque son la misma clase. Por tanto,
una clase de equivalencia es definida por “cualquiera” de
sus elementos.
Conclusión: Cuando se define una relación de equivalencia sobre
un conjunto, todo elemento del conjunto pertenece a una clase y sólo
a una.
CONJUNTO COCIENTE: Toda relación de equivalencia
definida sobre un conjunto, origina en él una partición en clases
de equivalencia. Al conjunto formado por todas las clases de
equivalencia se denomina conjunto cociente. Se designa porA/R.
RELACIONES DE ORDEN:
Pueden ser de dos tipos:
EN SENTIDO AMPLIO: Si cumple las propiedades reflexiva,
antisimétrica y transitiva.
EN SENTIDO ESTRICTO: Si cumple las propiedades
antisimétrica y transitiva.
Además, si cumple la propiedad conexa se dice que es un ORDEN
TOTAL, en caso contrario será un ORDEN PARCIAL.
CONJUNTOS ACOTADOS:
Sea un conjunto ordenado por la relación R A ≡≤ y sea S A ⊂ ,
entonces:
El subconjunto S se dice que está acotado superior y/o
inferiormente si tienen alguna cota superior y/o inferior respectivamente.
EXTREMOS: Sea un conjunto ordenado y sea A S A ⊂ un
conjunto acotado, entonces se llama:
• Extremo superior: La menor de todas las cotas superiores.
• Extremo inferior: La mayor de todas las cotas inferiores.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS:
APLICACIÓN MONÓTONA:
FUNCIÓN ACOTADA:
0.5.- ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA:
Dado un conjunto no vacío , se llama ley de composición interna u
“operación interna” a la aplicación:
Generalmente, estas leyes de composición u operaciones suelen
denotarse con los símbolos ∗ ⊥ + ⋅ , , , ,, ∆ … y se escribiría por ejemplo,
c= f(a,b) = a*b
LEY DE COMPOSICIÓN EXTERNA:
Dados tres conjuntos cualesquiera no vacíos A B , y C , se llama ley
de composición externa u “operación externa” a la aplicación:
ESTRUCTURA ALGEBRAICA:
Es un conjunto dotado de una o varias leyes de composición internas
y/o externas.
MORFISMOS ENTRE ESTRUCTURAS:
HOMOMORFISMOS:
Propiedades:
Dependiendo del tipo de aplicación y de las estructuras, los
homomorfismos pueden clasificarse en:
MONOMORFISMO: Si es inyectiva. f
EPIMORFISMO: Si es sobreyectiva. f
ISOMORFISMO: Si es biyectiva. f
ENDOMORFISMO: Si ( ) E,∗ ≡ ( F, ∆) .
AUTOMORFISMO: Si ( E,∗) ≡ ( F, ∆) y f es biyectiva
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0.1.- NOCIONES DE LÓGICA
PROPOSICIÓN:
Es cualquier enunciado del cual se puede decir si es verdadero ofalso, pero no ambas cosas a la vez. Si una proposición es verdadera se le
asigna la letra V (o el valor 1) y si es falsa, la letra F (o el valor 0).
TAUTOLOGÍA: Es una proposición que siempre es verdadera.
ABSURDO: Es una proposición que siempre es falsa.
• Disyunción: p o q (p ∨ q).
• Conjunción: p y q (p ∧ q).
• Implicación: p ⇒ q (p → q). Se lee: Si p entonces q.
• Doble implicación: p ⇔ q (p ↔ q). Se lee: p si y sólo si q.Los
resultados de operar lógicamente con proposiciones quedan
determinados por los valores de verdad que se les asigna, los cuales
dependerán de los que tengan las proposiciones de partida. Éstos, se suelen
representar en las llamadas “tablas de verdad”. Las tablas de verdad de las
proposiciones definidas anteriormente son las siguientes:
PAnorama
FUNCIÓN PROPOSICIONAL:
Si p(x) es una expresión que se convierte en proposición al sustituir x
por un objeto matemático, entonces se dice que p es una función
proposicional. También hay funciones proposicionales con más de un
objeto matemático (p(x,y), p(x,y,z), …).
CUANTIFICADORES:
• Universal: Si p(x) es una proposición verdadera para
cualquiera que se x, entonces se escribirá ∀ x, p(x), que se
lee “para todo x se verifica p”
• Existencial:
a) Si p(x) es alguna vez una proposición verdadera para
al menos un cierto x, entonces se escribirá x, p(x),
que se lee “existe al menós un x para el que se
verifica p”
∃
b) Si p(x) es una proposición verdadera para un único x,
entonces se escribirá ∃ x, p(x), que se lee “existe un
sólo x para el que se verifica p”
TEOREMAS:
En una teoría matemática, se llaman teoremas a las proposiciones
verdaderas relativas a los objetos matemáticos de la misma. Los teoremas
se suelen enunciar en forma de implicaciones, ya que por ser las
implicaciones proposiciones verdaderas son teoremas. Generalmente, los
términos teorema e implicación se consideran equivalentes.
DEMOSTRACIÓN: El proceso lógico que, a partir de una
proposición ya probada p, conduce a la veracidad de otra
proposición q, es la demostración del teorema p q. La
demostración de un teorema se puede hacer de varias formas:
⇒
• Directa: Si son ciertas p y p q, entonces también lo es q. ⇒
• Contrarrecíproca: Consiste en probar que (no q) (no p),
en lugar de probar p ⇒ q.
⇒
• Reducción al absurdo: Consiste en suponer que q es falsa,
con lo que la hipótesis pasa a ser p y (no q) y probar que de
ello se deduce alguna contradicción.'
REFUTACIÓN: Refutar un supuesto teorema p q, es
comprobar que es falso, lo que se indica poniendo p q. Para
ello, se puede suponer que p y q son ciertas y encontrar a partir de
ello una contradicción, o bien encontrando un contraejemplo, es
decir, dar algún caso concreto en el que p sea verdadera y q sea
falsa.
;'
0.2.- TEORÍA DE CONJUNTOS
CONJUNTO:
Se define un conjunto como una colección o reunión de elementos
bien definidos y diferenciables. Generalmente se utilizan letras mayúsculas
para designar un conjunto. Pueden expresarse de dos formas:
• Por extensión: Indicando todos y cada uno de sus elementos.
Normalmente se escriben los elementos del conjunto entre llaves
({...}).
• Por comprensión: Dando una propiedad que cumplan todos los
elementos del conjunto y sólo ellos.
Para indicar que un elemento “pertenece” a un conjunto se usa el
símbolo de pertenencia, ∈.
SUBCONJUNTO:
Un conjunto S es subconjunto de otro conjunto C , si todos los
elementos de S son elementos de C . En este caso al conjunto S también se
denomina “parte” de C . Para indicarlo se usa el símbolo de inclusión,
⊂ ⊃ ; ( S C ⊂ ; C S ⊃ ). La inclusión de conjuntos se puede entender de dos
formas:
• En sentido amplio: S C ⊆ .
• En sentido estricto: S C ⊂ .
CONJUNTO VACIO: Es el conjunto que no tiene ningún
elemento. Se denota por ∅ .
NJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL: Es el conjunto
al que pertenece “todo” elemento y del cual todos los conjuntos
son subconjuntos. Se denota por I (o por U ).
Nota: Se trata de un referencial al que pertenecen todos los
elementos de los conjuntos surgidos en una situación o problema
determinado. Si a un conjunto se le considera universal también lo
serán todos los conjuntos que lo contienen.
DIAGRAMAS DE VENN:
Son la representación en el plano de los conjuntos.
OPERACIONES CON CONJUNTOS:
CONJUNTOS DISJUNTOS Y COMPLEMENTARIOS:
CARDINAL DE UN CONJUNTO FINITO:
0.3.- APLICACIONES
PRODUCTO CARTESIANO:
Las aplicaciones, también llamadas “funciones” se suelen
representar por las letras letras , y se representan por:
DOMINIO DE LA APLICACIÓN: Es el subconjunto de
elementos del conjunto origen para los cuales existe imagen:
IMAGEN DE LA APLICACIÓN: Es el subconjunto de
elementos del conjunto imagen que tienen origen:
TIPOS DE APLICACIONES:
SOBREYECTIVA: Todo elemento del conjunto imagen tiene “al menos” un origen:
COMPOSICIÓN DE APLICACIONES:
APLICACIÓN INVERSA:
0.4.- RELACIONES BINARIAS
RELACIONES DE EQUIVALENCIA:
Una relación binaria se dice de equivalencia, si cumple las
propiedades reflexiva, simétrica y transitiva
Propiedades:
• Ninguna clase es vacía; a cl a ∈ ( )
• Los elementos pertenecientes a la misma clase están
relacionados entre sí.
• Las clases son disjuntas, ya que si dos clases tienen un
elemento común es porque son la misma clase. Por tanto,
una clase de equivalencia es definida por “cualquiera” de
sus elementos.
Conclusión: Cuando se define una relación de equivalencia sobre
un conjunto, todo elemento del conjunto pertenece a una clase y sólo
a una.
CONJUNTO COCIENTE: Toda relación de equivalencia
definida sobre un conjunto, origina en él una partición en clases
de equivalencia. Al conjunto formado por todas las clases de
equivalencia se denomina conjunto cociente. Se designa porA/R.
RELACIONES DE ORDEN:
Pueden ser de dos tipos:
EN SENTIDO AMPLIO: Si cumple las propiedades reflexiva,
antisimétrica y transitiva.
EN SENTIDO ESTRICTO: Si cumple las propiedades
antisimétrica y transitiva.
Además, si cumple la propiedad conexa se dice que es un ORDEN
TOTAL, en caso contrario será un ORDEN PARCIAL.
CONJUNTOS ACOTADOS:
Sea un conjunto ordenado por la relación R A ≡≤ y sea S A ⊂ ,
entonces:
El subconjunto S se dice que está acotado superior y/o
inferiormente si tienen alguna cota superior y/o inferior respectivamente.
EXTREMOS: Sea un conjunto ordenado y sea A S A ⊂ un
conjunto acotado, entonces se llama:
• Extremo superior: La menor de todas las cotas superiores.
• Extremo inferior: La mayor de todas las cotas inferiores.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS:
APLICACIÓN MONÓTONA:
FUNCIÓN ACOTADA:
0.5.- ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA:
Dado un conjunto no vacío , se llama ley de composición interna u
“operación interna” a la aplicación:
Generalmente, estas leyes de composición u operaciones suelen
denotarse con los símbolos ∗ ⊥ + ⋅ , , , ,, ∆ … y se escribiría por ejemplo,
c= f(a,b) = a*b
LEY DE COMPOSICIÓN EXTERNA:
Dados tres conjuntos cualesquiera no vacíos A B , y C , se llama ley
de composición externa u “operación externa” a la aplicación:
ESTRUCTURA ALGEBRAICA:
Es un conjunto dotado de una o varias leyes de composición internas
y/o externas.
MORFISMOS ENTRE ESTRUCTURAS:
HOMOMORFISMOS:
Propiedades:
Dependiendo del tipo de aplicación y de las estructuras, los
homomorfismos pueden clasificarse en:
MONOMORFISMO: Si es inyectiva. f
EPIMORFISMO: Si es sobreyectiva. f
ISOMORFISMO: Si es biyectiva. f
ENDOMORFISMO: Si ( ) E,∗ ≡ ( F, ∆) .
AUTOMORFISMO: Si ( E,∗) ≡ ( F, ∆) y f es biyectiva
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